Circunferencia: Eje radical

El eje radical

El eje radical de dos circunferencias es un lugar geométrico donde los puntos que lo forman tienen la misma potencia respecto de ambas circunferencias.

Matemáticas; Cónicas; 1. Bachillerato; Circunferencia: Eje radical

La ecuación general del eje radical es:

$\left(D_{1}-D_{2}\right) x+\left(E_{1}-E_{2}\right) y+F_{1}-F_{2}=0$

Calcular el eje radical

Procedimiento

1.

Se tiene un punto genérico $P(x,y)$ y dos circunferencias de la forma:

$\begin{aligned}&\text{C}_{1}: x^{2}+y^{2}+D_{1} x+E_{1} y+F_{1}=0 \\&\text{C}_{2}: x^{2}+y^{2}+D_{2} x+E_{2} y+F_{2}=0\end{aligned}$

2.

$P$ debe cumplir que $Pot_{C1}(P)=Pot_{C2}(P)$

3.

Se simplifica la siguiente expresión hasta llegar a la ecuación general:

$x^2+y^2+D_1x+E_1y+F_1=x^2+y^2+D_2x+E_2+F_2$

Ejemplo

Hallar el eje radical de las siguientes circunferencias:

$\begin{aligned}\text{C}1&: x^{2}+y^{2}+4 x-2 y+3=0 \\\text{C}2&:x^{2}+y^{2}+2 x-1=0\end{aligned}$

Se aplica la ecuación general sustituyendo:

$(4-2)x+(-2+0)y+3-(-1)=0 \rightarrow 2x-2y+4=0 \rightarrow \underline{x-y+2=0}$

Recuerda que: La recta que une los centros de dos circunferencias será siempre perpendicular al eje radical.

Centro radical

El centro radical es el punto que tiene la misma potencia respecto a tres circunferencias. Se obtiene hallando la intersección de los ejes radicales de cada circunferencia.