Ecuación vectorial de la recta en 2D y 3D

Características de la recta

La ecuación de una recta se puede definir siempre mediante:

•  Dos puntos
•  Vector director y un punto

Recuerda que: hay varios tipos de ecuaciones de la recta, pero en esta lección solo trataremos la principal, la ecuación vectorial. 

Ecuación vectorial de la recta en el plano

Sea la recta $$r$$ que pasa por el punto $$A(a_1,a_2)$$ y que tiene por vector director $$\overrightarrow u(u_1,u_2)$$, y sea $$P(x,y)$$ un punto cualquiera de la recta. Si denominamos $$\overrightarrow p$$ y $$\overrightarrow a$$ a los vectores posición de los puntos $$P$$ y $$A$$ respectivamente, entonces la ecuación vectorial de la recta $$r$$ tiene como expresión:

$$\overrightarrow p=\overrightarrow a+\lambda\overrightarrow u \qquad \text{con} \ \ \lambda\in\R$$​​​

Recuerda que: La pendiente de una recta, $$m$$, y el vector director de la misma, $$\overrightarrow u(u_1,u_2)$$,  están relacionados mediante la expresión $$m=\cfrac{u_2}{u_1}$$

Ejemplo

Calcula la ecuación vectorial de la recta que pasa por los puntos $$P(2,3)$$ y $$Q(4,5)$$

Al tener dos puntos de la recta, podemos calcular el vector director mediante la expresión: 

​$$\overrightarrow u=\overrightarrow {PQ}=Q-P=(2,3)-(4,5)=(-2,-2)$$​​

​​

Así obtenemos que la ecuación vectorial de la recta es;

$$\underline{(x,y)=(2,3)+\lambda(-2,-2)} \qquad \lambda \in \R$$

​​

Ecuación vectorial de la recta en el espacio

Sea la recta $$r$$ que pasa por el punto $$A(a_1,a_2,a_3)$$ y que tiene por vector director $$\overrightarrow u(u_1,u_2,u_3)$$, y sea $$P(x,y,z)$$ un punto genérico de la recta. Si denominamos $$\overrightarrow p$$ y $$\overrightarrow a$$ a los vectores posición de los puntos $$P$$ y $$A$$ respectivamente, entonces la ecuación vectorial de la recta $$r$$ tiene como expresión:

$$\overrightarrow p=\overrightarrow a+\lambda\overrightarrow u \qquad \text{con} \ \ \lambda\in\R$$

​

Ejemplo

Calcula la ecuación vectorial de la recta que pasa por por los puntos $$P(4,-2,1)$$ y $$Q(0,2,2)$$

No se nos da directamente el vector director pero, el $$\overrightarrow {PQ}$$ es válido. Así obtenemos:

​$$\overrightarrow {PQ}=Q-P=(0,2,2)-(4,-2,1)=(-4,4,1)\\\quad \\\underline{(x,y,z)=(0,2,2)+\lambda(-4,-4,1)}\qquad \lambda\in\R$$​​

​​