Probabilidad condicionada: Regla de la multiplicación

Resultados condicionados

Conocer información sobre el resultado de un experimento aleatorio puede modificar las probabilidades de un suceso. Si $$A$$​ y $$B$$​ son dos sucesos asociados, la probabilidad de $$A$$​ condicionada por $$B$$​ es:

​$$P(A\vert B)=\cfrac{P(A\cap B)}{P(B)}$$​​

Ejemplo

Al lanzar un dado, la probabilidad de $$A=$$ sacar número par y $$B=$$ sacar número primo son:

​$$P(A)=\cfrac{1}{2}$$​ y $$P(B)=\cfrac{1}{2}$$​​

Tiras el dado y sabes que ha salido un número par, pero desconoces si es un número primo. ¿Cuál es la probabilidad de que sea primo?

Si sabes que es par, entonces es $$2$$​, $$4$$​ o $$6$$​. De esos tres números, sólo el $$2$$​ es primo. La probabilidad de sacar un $$2$$​ es $$\cfrac{1}{6}$$​. Por lo tanto, la probabilidad de sacar un número primo sabiendo que el número que ha salido es par es:

​$$P(A\vert B)=\cfrac{\cfrac{1}{6}}{\cfrac{3}{6}}=\cfrac{1}{3}$$​​

Regla de la multiplicación de las probabilidades condicionadas

Si $$A$$​ y $$B$$​ son dos sucesos de un experimento, entonces $$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B\vert A)$$​ o $$P(A\cap B)=P(B)\cdot P(A\vert B)$$. Si se igualan se obtiene la regla de Bayes:

​$$P(A\vert B)=P(B\vert A)\cfrac{P(A)}{P(B)}$$​​

Ejemplo

En una bolsa hay $$4$$ bolas rojas y $$2$$ azules. Calcula la probabilidad de sacar dos bolas (sin reemplazar), la primera roja y la segunda azul.

​$$P(R_1\cap A_2)=P(R_1\vert A_2)=\cfrac{4}{6}\cdot\cfrac{2}{5}=\cfrac{4}{15}$$​​

La probabilidad de este suceso condicionado es   $${\cfrac{4}{15}}$$ .