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Posición relativa entre planos en el espacio

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Docente: Antonio

Resumen

Posiciones relativas entre planos

Posición relativa entre dos planos

Para saber la posición relativa entre dos planos tienes que estudiar el rango de la matriz de coeficiente MM y la matriz ampliada  MM' que se obtiene del sistema formado por sus ecuaciones implícitas. 


{π:Ax+By+Cz+D=0π:Ax+By+Cz+D=0 \left\{\begin{array}{ l }\pi: Ax+By+Cz+D=0\\ \pi': A'x+B'y+C'z+D=0\end{array}\right.​​


M=(ABCABC)M = \begin{pmatrix}A & B & C\\A' & B' & C'\end{pmatrix}                  M=(ABCDABCD)M' = \begin{pmatrix}A & B & C&D\\A' & B' & C' &D\end{pmatrix}


Planos coincidentes

Rg(M)=Rg(M)=1Rg(M)=Rg(M')=1​​

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Planos paralelos

Rg(M)=1<Rg(M)=2Rg(M)=1<Rg(M')=2​​

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Planos secantes

Rg(M)=Rg(M)=2Rg(M)=Rg(M')=2​​

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Posición relativa entre tres planos

Al igual que en el caso anterior, para saber la posición relativa entre tres planos tienes que estudiar el rango de MM​ y MM'​ .

Coincidentes

Rg(M)=Rg(M)=1Rg(M) = Rg(M')=1​​

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Paralelos o dos coincidentes y otro paralelo

Rg(M)=1<Rg(M)=2Rg(M) = 1<Rg(M')=2

​​

Para saber cuál de las dos posiciones puede ser, tienes que estudiar la posición relativa de los planos de dos en dos.

Matemáticas; Planos; 2. Bachillerato; Posición relativa entre planos en el espacio

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Dos coincidentes y otro que corta o tres planos secantes

Rg(M)=Rg(M)=2Rg(M) = Rg(M')=2

​​

Para saber cuál de las dos posiciones puede ser, tienes que estudiar si existen algunos planos coincidentes.

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Forman un prisma o dos paralelos y otro secante

Rg(M)=2<Rg(M)=3Rg(M)=2<Rg(M')=3


Para saber cuál de las dos opciones puede ser, tienes que estudiar si existen planos paralelos.​

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Triedro

Rg(M)=Rg(M)=3Rg(M)=Rg(M')=3​​

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Preguntas frecuentes

¿Qué posiciones relativas existen entre dos planos?

¿Cómo se determina la posición relativa entre planos?

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