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Estudio de derivadas: Teorema de Rolle

Estudio de derivadas: Teorema de Rolle

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Docente: Gadea

Resumen

Estudio de derivadas: Teorema de Rolle 

El Teorema de Rolle demuestra la existencia de un punto interior a un intervalo abierto para el que la derivada de una función es nula cuando el valor de los extremos del intervalo es igual a cero todo ello sin hallar la derivada. 

 

Teorema 

Sea f(x)f(x) una función que: 

  • Continua en [a,b][a,b]
  • Derivable en (a,b)(a,b)
  • f(a)=f(b)f(a)=f(b)​​

Entonces:

Existe un punto cc que pertenece al intervalo (a,b)(a,b), tal que la derivada de la función en cc es igual a 00 

{ c(a,b)  f(c)=0\exists \space c \in (a,b) \space | \space f' (c)=0}


Recuerda que: Si no se cumple alguna de las hipótesis del teorema, entonces el teorema no se cumple. 


Ejemplo 

Aplica el Teorema de Rolle en la función f(x)=xx3f(x)=x-x^3 en [0,1][0,1]


f(x)f(x) es continua en [0,1][0,1] por ser función polinómica

f(x)f(x) es derivable en (0,1)(0,1) por ser función polinómica 

 f(0)=f(1)=0f(0)=f(1)=0


Entonces se cumple Teorema de Rolle


Comprobación:

Calcula la derivada de la función

f(x)=13x2f'(x)=1-3x^2


Calcula f(c)=0f'(c)=0

​​f(c)=13c2=0c=±13f'(c)=1-3c^2=0 \rightarrow c=\pm \cfrac{1}{\sqrt{3}}

13(0,1)\cfrac{-1}{\sqrt{3}} \not\in (0,1)


13(0,1)\cfrac{1}{\sqrt{3}} \in (0,1)​​

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Preguntas frecuentes

¿Cuáles son las hipótesis del Teorema de Rolle?

¿Para qué sirve el Teorema de Rolle?

¿Qué es el Teorema de Rolle?

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