​Tipificación de la variable normal

Tipificar consiste en transformar una variable aleatoria $X\sim N(\mu, \sigma)$ en una variable equivalente que presente una distribución estándar $Z \sim N(0,1)$, de modo que, pueda utilizarse la tabla de distribución normal. Para tipificar se emplea la siguiente expresión:

$Z=\cfrac{X-\mu}{\sigma}$​​

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Cálculo de probabilidades de una distribución $N(\mu, \sigma)$

Dada una distribución normal $N(\mu,\sigma)$, es posible calcular la probabilidad de que la variable adquiera cualquier valor en un intervalo al relacionarla con una distribución $N(0,1)$, de modo que:​

$\begin{aligned}P(a\leq X\leq b)&=P\left(\cfrac{a-\mu}{\sigma} \leq \cfrac{X-\mu}{\sigma}\leq \cfrac{b-\mu}{\sigma}\right)\\&=P\left(\cfrac{a-\mu}{\sigma} \leq Z \leq \cfrac{b-\mu}{\sigma}\right)=\Phi\left(\cfrac{b-\mu}{\sigma}\right) - \Phi\left(\cfrac{a-\mu}{\sigma}\right) \end{aligned}$

Recuerda que: Los valores de $\Phi$ se pueden obtener en la tabla de la distribución de la variable $N(0,1).$

Ejemplo

En cierto país, la estatura media de la población adulta sigue una distribución $N(175,10)$. ¿Qué porcentaje de la población adulta mide menos de $185 \, cm$?

En primer lugar, debes tipificar. Para ello, se emplea la fórmula correspondiente:

$Z=\cfrac{185-175}{10}=1$

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De modo que, la probabilidad de que $X$ se encuentre por debajo de $185$ es equivalente a que la probabilidad de que $X$ se encuentre por debajo de $1$ en una distribución normal $N(0,1)$, es decir:

$P(X \leq 185)=P(Z \leq 1)$

A continuación, tan solo tienes que buscar la probabilidad correspondiente a $1$ en la tabla. De modo que:

$P(Z \leq 1)= \Phi (1)=0,8413$​​

​$0,8413 \cdot 100= \underline {84,13 \% }$​​

Por tanto, el $84,13 \%$ de la población mide menos de $185 \, cm.$

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Intervalos centrados en la media

En una distribución normal $N(\mu, \sigma)$, si al intervalo centrado en la media $(-\mu-k, \mu+k)$ le corresponde un valor $p$: ​​

​$P(\mu-k \leq X \leq \mu +k)=p=1 - \alpha$

​$P (z> z_{\alpha / 2})=\cfrac{\alpha }{2}$​​​

​$P (z \leq z_{\alpha /2})=1-\cfrac{\alpha}{2}$​​

Entonces, el intervalo de confianza para una distribución $N(\mu, \sigma)$ será de la forma:

 $(\mu -Z_{\alpha /2} \cdot \sigma, \mu +Z_{\alpha / 2 } \cdot \sigma )$​

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Ejemplo

En una distribución normal con media $\mu= 1$ y desviación típica $\sigma=0.1$, calcula un intervalo centrado en la media, de modo que el $60 \%$ de los individuos se encuentren en dicho intervalo. 

El intervalo para $N(1, 0.1)$ es de la forma: 

​$(\mu -Z_{\alpha /2} \cdot \sigma, \mu +Z_{\alpha / 2 } \cdot \sigma )$​​

Por tanto, debes hallar el valor que desconoces del intervalo, $Z_{ \alpha / 2}$​​

$1 - \alpha=0,60 ;\, \, \alpha=0,4$

De modo que:

N(0, para una distribución $N(0,1)$​

$P(Z \leq Z_{\alpha /2})=1-\cfrac{0,4}{2}=0,8$​​

A continuación, debes buscar en el interior de la tabla de distribución normal el valor más próximo a $0,8$, que corresponde al valor de $Z_{ \alpha / 2}$:

$Z_{\alpha/2}=0,84$​​

Por último, tan solo tienes que sustituir los datos correspondientes para obtener el intervalo:

​$(1 -0,84 \cdot 0,1 \, , \, 1 +0,84 \cdot 0,1 )$​

$(0,916 \, , \, 1,084)$

De modo que, el $60 \%$ se encuentra en el intervalo $\underline {(0,916 \, , \, 1,084)}$​.