Tipificación de la variable normal

Tipificar consiste en transformar una variable aleatoria $X\sim N(\mu, \sigma)$ en una variable equivalente que presente una distribución estándar $Z \sim N(0,1)$ , de modo que, pueda utilizarse la tabla de distribución normal. Para tipificar se emplea la siguiente expresión:

$Z=\cfrac{X-\mu}{\sigma}$

Cálculo de probabilidades de una distribución $N(\mu, \sigma)$

Dada una distribución normal $N(\mu,\sigma)$ , es posible calcular la probabilidad de que la variable adquiera cualquier valor en un intervalo al relacionarla con una distribución $N(0,1)$ , de modo que:

$\begin{aligned}P(a\leq X\leq b)&=P\left(\cfrac{a-\mu}{\sigma} \leq \cfrac{X-\mu}{\sigma}\leq \cfrac{b-\mu}{\sigma}\right)\\&=P\left(\cfrac{a-\mu}{\sigma} \leq Z \leq \cfrac{b-\mu}{\sigma}\right)=\Phi\left(\cfrac{b-\mu}{\sigma}\right) - \Phi\left(\cfrac{a-\mu}{\sigma}\right) \end{aligned}$

Recuerda que: Los valores de $\Phi$ se pueden obtener en la tabla de la distribución de la variable $N(0,1).$

Ejemplo

En cierto país, la estatura media de la población adulta sigue una distribución $N(175,10)$ . ¿Qué porcentaje de la población adulta mide menos de $185 \, cm$ ?

En primer lugar, debes tipificar. Para ello, se emplea la fórmula correspondiente:

$Z=\cfrac{185-175}{10}=1$

Matemáticas; Distribuciones; 2. Bachillerato; Tipificación de la variable normal

De modo que, la probabilidad de que $X$ se encuentre por debajo de $185$ es equivalente a que la probabilidad de que $X$ se encuentre por debajo de $1$ en una distribución normal $N(0,1)$ , es decir:

$P(X \leq 185)=P(Z \leq 1)$

A continuación, tan solo tienes que buscar la probabilidad correspondiente a $1$ en la tabla. De modo que:

$P(Z \leq 1)= \Phi (1)=0,8413$ 

$0,8413 \cdot 100= \underline {84,13 \% }$

Por tanto, el $84,13 \%$ de la población mide menos de $185 \, cm.$

Intervalos centrados en la media

En una distribución normal $N(\mu, \sigma)$ , si al intervalo centrado en la media $(-\mu-k, \mu+k)$ le corresponde un valor $p$ :

$P(\mu-k \leq X \leq \mu +k)=p=1 - \alpha$

$P (z> z_{\alpha / 2})=\cfrac{\alpha }{2}$

$P (z \leq z_{\alpha /2})=1-\cfrac{\alpha}{2}$

Entonces, el intervalo de confianza para una distribución $N(\mu, \sigma)$ será de la forma:

$(\mu -Z_{\alpha /2} \cdot \sigma, \mu +Z_{\alpha / 2 } \cdot \sigma )$

Ejemplo

En una distribución normal con media $\mu= 1$ y desviación típica $\sigma=0.1$ , calcula un intervalo centrado en la media, de modo que el $60 \%$ de los individuos se encuentren en dicho intervalo.

El intervalo para $N(1, 0.1)$ es de la forma:

$(\mu -Z_{\alpha /2} \cdot \sigma, \mu +Z_{\alpha / 2 } \cdot \sigma )$

Por tanto, debes hallar el valor que desconoces del intervalo, $Z_{ \alpha / 2}$

$1 - \alpha=0,60 ;\, \, \alpha=0,4$

De modo que:

$N(0,1)$

$P(Z \leq Z_{\alpha /2})=1-\cfrac{0,4}{2}=0,8$ 

A continuación, debes buscar en el interior de la tabla de distribución normal el valor más próximo a $0,8$ , que corresponde al valor de $Z_{ \alpha / 2}$ :

$Z_{\alpha/2}=0,84$ 

Por último, tan solo tienes que sustituir los datos correspondientes para obtener el intervalo:

 $(1 -0,84 \cdot 0,1 \, , \, 1 +0,84 \cdot 0,1 )$ 

$(0,916 \, , \, 1,084)$

De modo que, el $60 \%$ se encuentra en el intervalo $\underline {(0,916 \, , \, 1,084)}$ .