Estudio de integrales: Teorema del valor medio

Teorema del valor medio del cálculo integral

Si tenemos una función $$f$$ que es continua en $$[a,b]$$, existe como mínimo un número $$c$$ en $$[a,b]$$ tal que:

$$\displaystyle\int_{a}^bf(x)dx=f(c)(b-a)$$

Al número $$f(c)$$ se le llama valor medio de $$f$$ en $$[a,b]$$

Interpretación geométrica

Geométricamente, $$f(c)$$ es la altura del rectángulo de base $$b-a$$ cuyo área es igual al área encerrada por la curva en el intervalo $$[a,b]$$

Ejemplo 

Calcula el valor medio de la función $$f(x)=3x^3-2x$$ en el intervalo $$[-1,0]$$

En primer lugar buscamos cual es el valor del área encerrada por la curva mediante la integral definida

$$\displaystyle\int_{-1}^0(x^3-3x)dx=\cfrac{x^4}{4}-\cfrac{3x^2}{2}\Bigg|_{-1}^0=\cfrac{5}{4}$$

Por último, utilizar el Teorema del valor medio para terminar el ejercicio

$$\displaystyle\int_{-1}^0(x^3-3x)dx=f(c)(0-(-1))\implies f(c)=\cfrac{\displaystyle\int_{-1}^0(x^3-3x)dx}{1}\\f(c)=\underline{\cfrac{5}{4}}$$​​

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