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Resumen del capítulo

Objetivos de aprendizaje

Matemáticas

Sistemas de ecuaciones

Sistemas de ecuaciones lineales con tres incógnitas

Método de Gauss: Resolución de sistemas de ecuaciones lineales

Resolución de un sistema lineal como ecuación matricial

Regla de Cramer: Resolución de sistemas compatibles determinados

Teorema de Rouché-Frobenius: Discusión de sistemas

Sistemas homogéneos: Características y propiedades

Sistemas de ecuaciones dependientes de parámetros

Matrices

Matrices: Definición y tipos

Cálculo matricial: Suma y producto de matrices

Rango de una matriz: Definición y cómo calcularlo

Método de Gauss: Obtención de una matriz triangular

Inversa de una matriz: Cálculo y propiedades

Inversa de una matriz: Método de Gauss-Jordan

Determinantes

Introducción a los determinantes

Propiedades de los determinantes

Cálculo de determinantes

Aplicación de determinantes: Rango y matriz inversa

Ecuaciones matriciales: Resolución y propiedades

Funciones

Funciones: Definición y tipos

Asíntotas verticales, horizontales y oblicuas

Límites de funciones y tipos de continuidad

Simetría de las funciones: Par e Impar

Puntos de corte con los ejes y signo de una función

Monotonía y puntos extremos de una función

Curvatura y puntos de inflexión de una función

Tendencia y periodicidad de una función

Continuidad de una función: Teorema de Bolzano

Continuidad de una función: Teorema de Darboux

Continuidad de una función: Teorema de Weierstrass

Límites

Límites: Definición y tipos

Propiedades y cálculo de límites

Límites indeterminados: Indeterminaciones

Indeterminaciones: Regla de l'Hòpital

Representación de funciones

Funciones polinómicas: Análisis y representación

Funciones racionales: Análisis y representación

Funciones irracionales: Análisis y representación

Función valor absoluto: Análisis y representación

Función exponencial: Análisis y representación

Función logarítmica: Análisis y representación

Funciones trigonométricas: Análisis y representación

Funciones trigonométricas inversas: Análisis y representación

Construcción de funciones: Traslación y dilatación

Derivadas

Tasa de variación: Media e instantánea

Continuidad y derivabilidad de una función

Cálculo de derivadas: Reglas de derivación

Cálculo de derivadas: Regla de la cadena

Aplicaciones de la segunda derivada: Curvatura e inflexión

Derivada de la función inversa

Derivada de la función potencial

Derivada de la función exponencial

Derivada de la función logarítmica

Derivada de las funciones trigonométricas

Derivadas y monotonía de una función

Estudio de derivadas: Teorema de Rolle

Estudio de derivadas: Teorema del Valor Medio

Aplicación de las derivadas: Problemas de optimización

Integrales

Integrales indefinidas I: Definición y propiedades

Integrales indefinidas II: Inmediatas

Integración por partes del producto de funciones

Integración de funciones racionales

Integración de funciones por cambio de variable

Integración de funciones trigonométricas

Integrales no elementales: Teorema de Liouvillle

Integrales definidas

Integrales definidas: Propiedades

Cálculo de integrales definidas: Regla de Barrow

Estudio de integrales: Teorema del valor medio

Función integral: Teorema fundamental del cálculo:

Aplicaciones de las integrales: Cálculo de áreas

Otras aplicaciones de las integrales: Longitudes y volúmenes

Sucesiones

Sucesiones de números reales

Límites de las sucesiones

Convergencia de sucesiones

Vectores

Vectores: Definición, elementos y tipos

Bases vectoriales y coordenadas en 2D

Bases vectoriales y coordenadas en 3D

Operaciones con vectores: Suma, resta y producto

Componentes de un vector, módulo y argumento

Dependencia y combinación lineal en 3D

Operaciones con vectores: Producto escalar

Operaciones con vectores: Producto vectorial

Operaciones con vectores: Producto mixto

Rectas

Ecuación vectorial de la recta en 2D y 3D

Otras ecuaciones de la recta en 2D y 3D

Posición relativa de dos rectas en 2D y 3D

Intersección de dos rectas en 2D y 3D

Lugares geométricos de la recta: Mediatriz y bisectriz

Planos

Ecuaciones del plano: Vectorial, paramétrica e implícita

Otras ecuaciones del plano

Posición relativa entre recta y plano en el espacio

Posición relativa entre planos en el espacio

Áreas y volúmenes

Cálculo de áreas y volúmenes con vectores

Probabilidad

Experimentos aleatorios, espacio muestral y sucesos

Frecuencia y probabilidad de un suceso

Propiedades de la probabilística de sucesos

Asignación de probabilidades en el espacio muestral

Probabilidad condicionada: Regla de la multiplicación

Dependencia e independencia de sucesos

Teorema de la probabilidad total

Teorema de Bayes: Probabilidades "a priori"

Combinatoria

Permutaciones con y sin repetición

Variaciones con y sin repetición

Combinaciones y números combinatorios

Binomio de Newton: Potencias de un binomio

Distribución estadística

Variables aleatorias: Función de masa, esperanza y varianza

Distribución de Bernoulli y binomial: Características

Distribuciones continuas: Características

Distribución normal: Características

Tipificación de la variable normal

Aproximación de la binomial por la normal

Matemáticas

Distribución normal: Características

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Resumen

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Distribución normal: Características

Función de densidad de la distribución normal

Una variable aleatoria continua, $X$ , presenta una distribución normal de media $\mu (\mu \in \R)$ y una desviación típica $\sigma$ , que se representa como $X\sim N(\mu, \sigma)$ , cuando su función de densidad es de la forma:

$f(x)=\cfrac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}\cdot e^{\cfrac{1}{2}(\cfrac{x-\mu }{\sigma})^2 }$ ; $-\infty <x< +\infty$

Características de la función de densidad de la distribución normal

Simetría	Función simétrica respecto a $\mu$ $(f(\mu-x)=f(\mu+x))$
Moda y mediana	$\mu$ corresponde al valor de ambas
Máximo	Presenta un máximo en $x=\mu$
Puntos de inflexión	En $x=\mu - \sigma$ y $x=\mu + \sigma$
Asíntotas	El eje $X$ es una asíntota horizontal cuando $x$ tiende a $\pm \infty$

La distribución normal estándar

Se conoce como distribución normal estándar a la distribución normal cuando toma los valores de media $\mu=0$ y desviación típica $\sigma =1.$ Su variable aleatoria correspondiente se representa como $Z.$

La función de densidad de dicha variable aleatoria, $Z\sim N (0,1)$ , es:

$\varphi (z)=\cfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot e^{\cfrac{-z^2}{2}}$ ; $+\infty >z>-\infty$

Cálculo de probabilidad con $Z\sim N (0,1)$

La función de distribución de la variable $Z\sim N (0,1)$ se representa como $\Phi(z).$

Para calcular las probabilidades $P(Z\leq a)$ si $a\geq0$ , se deben emplear las tablas de distribución normal. En primer lugar se debe redondear $a$ a las centésimas y a continuación, se seleccionan las unidades y décimas en la primera columna de la tabla y las centésimas en la primera fila. El número correspondiente de la intersección fila-columna corresponde a la probabilidad $P(z\leq a)$ .

Ejemplo

Calcula la probabilidad: $P(Z\leq 1,42)=p$ .

En la tabla de distribuciones normales, debes buscar en la columna de la izquierda $1,4$ y en la fila superior $0,02$ , la intersección entre la fila y la columna correspondiente será el valor de la probabilidad.

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Distribución normal: Características

Distribución normal: Características

Función de densidad de la distribución normal

Características de la función de densidad de la distribución normal

La distribución normal estándar

Cálculo de probabilidad con $Z\sim N (0,1)$

Ejemplo

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Distribución normal: Características

Distribución normal: Características

​​Función de densidad de la distribución normal

Características de la función de densidad de la distribución normal

La distribución normal estándar

Cálculo de probabilidad con Z∼N(0,1)Z\sim N (0,1) Z∼N(0,1)

Ejemplo

Función de densidad de la distribución normal

Cálculo de probabilidad con $Z\sim N (0,1)$