Distribución normal: Características

​​Función de densidad de la distribución normal

Una variable aleatoria continua, $$X$$, presenta una distribución normal de media $$\mu (\mu \in \R)$$ y una desviación típica $$\sigma$$, que se representa como $$X\sim N(\mu, \sigma)$$, cuando su función de densidad es de la forma:

$$f(x)=\cfrac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}\cdot e^{\cfrac{1}{2}(\cfrac{x-\mu }{\sigma})^2 }$$; $$-\infty <x< +\infty$$

Características de la función de densidad de la distribución normal

La distribución normal estándar

Se conoce como distribución normal estándar a la distribución normal cuando toma los valores de media $$\mu=0$$ y desviación típica $$\sigma =1.$$ Su variable aleatoria correspondiente se representa como $$Z.$$

La función de densidad de dicha variable aleatoria, $$Z\sim N (0,1)$$, es:

​$$\varphi (z)=\cfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot e^{\cfrac{-z^2}{2}}$$; $$+\infty >z>-\infty$$

Cálculo de probabilidad con $$Z\sim N (0,1)$$

La función de distribución de la variable $$Z\sim N (0,1)$$ se representa como $$\Phi(z).$$

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Para calcular las probabilidades $$P(Z\leq a)$$ si $$a\geq0$$, se deben emplear las tablas de distribución normal. En primer lugar se debe redondear $$a$$ a las centésimas y a continuación, se seleccionan las unidades y décimas en la primera columna de la tabla y las centésimas en la primera fila.  El número correspondiente de la intersección fila-columna corresponde a la probabilidad $$P(z\leq a)$$.

Ejemplo

Calcula la probabilidad: $$P(Z\leq 1,42)=p$$.

En la tabla de distribuciones normales, debes buscar en la columna de la izquierda $$1,4$$ y en la fila superior $$0,02$$, la intersección entre la fila y la columna correspondiente será el valor de la probabilidad. 

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Por tanto, $$P(Z\leq 1,42)=p=0,9222$$

Cálculo de valores correspondientes a una probabilidad dada.

Si se conoce el valor de la probabilidad $$P(Z\leq a)=p$$, se puede hallar el valor de $$a$$ utilizan la tabla de distribuciones normales. 

Ejemplo 

Determina el valor de $$a$$ sabiendo que $$\Phi (a)=P(Z\leq a)=0,8238$$.

Sabiendo que $$\Phi (a)=P(Z\leq a)=0,8238$$, se debe buscar este número en la tabla. En este caso corresponde a la fila de $$0,9$$ y a la columna de $$0,03.$$

De modo que, $$a=0,93$$.