Distribución de Bernoulli y binomial: Características

​​Distribución de Bernoulli

El experimento de Bernoulli consiste en un experimento aleatorio con dos únicos resultados, a los cuales suelen denominarse éxito $$(E)$$ y fracaso $$(F).$$  La variable aleatoria $$X$$ toma el valor $$1$$ si ocurre el suceso $$E$$ y el valor $$0$$ si ocurre el suceso $$F.$$​​

Por tanto, una variable aleatoria ​$$X$$ presenta una distribución de Bernoulli de parámetro p, con $$0\le p\le1$$, cuando toma los valores $$1$$ y $$0$$ con probabilidades $$P(X=1)=p$$ y $$P(X=0)=q=1-p.$$

Si $$X\sim Ber(p):$$

Ejemplo

La probabilidad de lanzar un dado al aire y que salga el número $$1$$ es de $$\cfrac{1}{6}$$. Determina la esperanza, la varianza de esta variable y la probabilidad de que no salga el número $$1.$$

El número de éxitos sigue una distribución de Bernoulli de probabilidad de éxito $$\cfrac{1}{6}$$:

$$X \sim \rm Ber\left(\cfrac{1}{6}\right)$$

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Sabiendo que la probabilidad de éxito es $$\cfrac{1}{6}$$, la probabilidad de que no salga el número $$1$$ será:

$$P(X=0)=q=1-\cfrac{1}{6}=\underline{\cfrac{5}{6}}$$

La esperanza de que salga $$1$$ será:

$$E(X)=p=\underline{\cfrac{1}{6}}$$​​

Por último, se calcula la varianza:

$$\rm Var(X)=pq=\cfrac{5}{6}\cdot \cfrac{1}{6}=\underline{\cfrac{5}{36}}$$​​

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Distribución binomial

Si en el ejemplo anterior se tirase $$10$$ veces el dado, aparece una variable $$Y$$: "número de veces que sale el número $$1$$ en las $$10$$ tiradas" se le conoce como binomial y presenta dos parámetros: el número de veces que se tira la moneda, $$10$$, y la probabilidad de éxito $$E$$, probabilidad de que salga el número $$1.$$

De modo que, en $$n$$ experimentos de Bernoulli independientes, la probabilidad de que en cada experimento se produzca el suceso $$E$$ es $$p.$$ 

La variable $$X$$: "número de veces que se produce el suceso $$E$$ en los $$n$$ experimentos" presenta una distribución binomial de parámetros $$n$$ y $$p$$, siendo $$n$$ un número natural y $$0\le p\le 1$$. Se representa como $$X \sim Bin (n,p)$$.

Cuando $$X\sim Bin(n,p)$$, la probabilidad de que $$X$$ tome un valor aleatorio $$k$$, con $$0\le k \le n,$$ es:

​$$P(X=k)=\dbinom{n}{k}p^k (1-p)^{n-k}$$​​

Ejemplo

Una pareja tiene una probabilidad de $$0,25$$ de tener hijos con ojos azules. Si la pareja tiene seis hijos, calcula la probabilidad de que dos de ellos tengan los ojos azules.

• Variable X : "número de hijos con ojos azules". 
• Los padres tienen $$6$$ hijos, luego $$n=6$$ 
• Probabilidad de que tengan ojos azules: $$p=0,25$$. 

Puesto que se trata de una distribución binomial $$X \sim Bin (n=6,p=0,25)$$, habrá que aplicar la fórmula de esta para $$k=2$$ para calcular la probabilidad:

$$P(X=2)=\dbinom{6}{2}0,25^2(1-0,25)^{6-2}$$​​

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$$P(X=2)=\cfrac{6!}{2! \cdot 4!}\cdot 0,25^2\cdot 0,75^4=\underline {0,2966}$$​​