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Otras ecuaciones de la recta en 2D y 3D

Ecuación vectorial

Partiendo de la ecuación vectorial cuya expresión era:

​$$\boxed{(x,y)=(a_1,a_2)+ \lambda(u_1,u_2)}$$

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Podemos ir definiendo por recurrencia el resto de ecuaciones de la recta

Ecuaciones paramétricas

Si reescribimos la ecuación vectorial en dos ecuaciones igualando coordenada a coordenada obtenemos las ecuaciones paramétricas.

​$$(x,y)=(a_1,a_2)+ \lambda(u_1,u_2)=\boxed{\begin{cases}x=a_1+\lambda u_1\\y=a_2+\lambda u_2\end{cases}}\qquad \lambda\in\R$$

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Ecuación continua

Si las coordenadas del vector director $$\overrightarrow u(u_1,u_2)$$ son ambas no nulas, partiendo de las ecuaciones paramétricas podemos despejar de ambas ecuaciones el parámetro $$\lambda$$ e, igualando las expresiones obtenidas, obtenemos la ecuación continua.

$$\begin{cases}x=a_1+\lambda u_1\\y=a_2+\lambda u_2\end{cases}\implies \begin{cases}\lambda=\cfrac{x-a_1}{u_1}\\\quad \\\lambda=\cfrac{y-a_2}{u_2}\end{cases}\implies \boxed{\cfrac{x-a_1}{u_1}=\cfrac{y-a_2}{u_2}}$$​​

Ecuación general

Operando y simplificando la ecuación continua, obtenemos la ecuación general.

$$\cfrac{x-a_1}{u_1}=\cfrac{y-a_2}{u_2}\implies u_2(x-a_1)=u_1(y-a_2)\implies u_2x-u_2a_1-u_1y+u_1a_2=\\=u_2x-u_1y-u_2a_1+u_1a_2=\boxed{Ax+By+C=0}\qquad \text{con }A=u_2,\ B=-u_1,\ C=u_1a_2-u_2a_1$$​​

Recuerda que: la ecuación general y el vector director están relacionados mediante la expresión $$\overrightarrow u=(-A,B)$$

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Ecuación explícita 

Despejando la variable $$y$$ de la ecuación continua, obtenemos la ecuación explícita.

​$$Ax+By+C=0\implies By=-Ax-C\implies y=\cfrac{-Ax}{B}-\cfrac{C}{B}\implies \boxed{y=mx+n}\qquad\\ \text { }m=\cfrac{-A}{B} \space \space \ \ \ \ \ \ \ n=\cfrac{-C}{B}$$

Recuerda que: la pendiente de la recta y la ecuación general están relacionadas mediante la expresión $$m=\cfrac{-A}{B}$$

Ejemplo

​​Calcula todas las ecuaciones de la recta que pasa por el punto $$P(1,3)$$  y tiene como vector director $$\overrightarrow u(-2,1)$$.

Comenzamos escribiendo la ecuación vectorial

$$\underline{(x,y)=(1,3)+\lambda((-2,1)}$$

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Reescribiendo la ecuación vectorial como dos ecuaciones igualando las coordenadas obtenemos las ecuaciones paramétricas 

$$\underline{\begin{cases}x=1-2\lambda\\y=3+\lambda\end{cases}}$$​​

Despejando $$\lambda$$ de las ecuaciones paramétricas e igualando obtenemos la ecuación continua

​$$\begin {cases}\lambda=\cfrac{-x+1}{2}\\\lambda=y-3\end{cases}\implies \underline{\cfrac{-x+1}{2}=y+3}$$​​

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Simplificando y operando la ecuación continua obtenemos la ecuación general

​$$\cfrac{-x+1}{2}=y+3\implies-x+1=2y+6\implies \underline {x+2y+5=0}$$​​

Despejamos la $$y$$ de la ecuación general y obtenemos la ecuación explícita 

$$x+2y+5=0\implies 2y=-x-5\implies \underline {y=\cfrac{-x}{2}-\cfrac{5}{2}}$$​​

Rectas en el espacio

Nuevamente, teniendo en cuenta la ecuación vectorial:

​$$(x,y,z)=(a_1,a_2,a_3)+\lambda(u_1,u_2,u_3)$$​​

Obtenemos el resto de ecuaciones de igual manera que con rectas en el plano, así tenemos

Recuerda que: al tener $$\it 3$$​ coordenadas se obtienen $$\it 3$$​ miembros en la ecuación continua, por lo que al simplificarla se tienen que elegir los miembros $$\it 2$$ a $$\it 2$$​. Por lo tanto, hay múltiples combinaciones (todas válidas) y quedan dos ecuaciones implícitas en vez de una.

Ejemplo

Calcula todas las ecuaciones de la recta que pasan por el punto $$P(2,1,1)$$ y tienen como vector director $$\overrightarrow u(1,-1,2)$$.

Ecuación vectorial :

$$\underline{(x,y,z)=(2,1,1)+\lambda (1,-1,2)}$$​​

Ecuaciones paramétricas:

​$$\underline{\begin{cases}x=2+\lambda\\y=1-\lambda\\z=1+2\lambda\end{cases}}$$​

Ecuación continua:​

$$\begin{cases}\lambda=x-2\\\lambda=-y+1\\\lambda=\cfrac{z-1}{2}\end{cases}\implies \underline{x-2=-y+1=\cfrac{z-1}{2}}$$

Ecuaciones implícitas:

$$x-2=-y+1\implies x+y-3=0\\x-2=\cfrac{z-1}{2}\implies 2x-z-3=0\\\quad\\\underline{\begin{cases}x+y-3=0\\2x-z-3=0\end{cases}}$$​​