Si las coordenadas del vector director u(u1,u2) son ambas no nulas, partiendo de las ecuaciones paramétricas podemos despejar de ambas ecuaciones el parámetro λ e, igualando las expresiones obtenidas, obtenemos la ecuación continua.
Recuerda que: la pendiente de la recta y la ecuación general están relacionadas mediante la expresión m=B−A
Ejemplo
Calcula todas las ecuaciones de la recta que pasa por el punto P(1,3) y tiene como vector director u(−2,1).
Comenzamos escribiendo la ecuación vectorial
(x,y)=(1,3)+λ((−2,1)
Reescribiendo la ecuación vectorial como dos ecuaciones igualando las coordenadas obtenemos las ecuaciones paramétricas
{x=1−2λy=3+λ
Despejando λ de las ecuaciones paramétricas e igualando obtenemos la ecuación continua
⎩⎨⎧λ=2−x+1λ=y−3⟹2−x+1=y+3
Simplificando y operando la ecuación continua obtenemos la ecuación general
2−x+1=y+3⟹−x+1=2y+6⟹x+2y+5=0
Despejamos la y de la ecuación general y obtenemos la ecuación explícita
x+2y+5=0⟹2y=−x−5⟹y=2−x−25
Rectas en el espacio
Nuevamente, teniendo en cuenta la ecuación vectorial:
(x,y,z)=(a1,a2,a3)+λ(u1,u2,u3)
Obtenemos el resto de ecuaciones de igual manera que con rectas en el plano, así tenemos
ECUACIONES PARAMÉTRICAS
⎩⎨⎧x=a1+λu1y=a2+λu2z=a3+λu3
eCUACIÓN CONTINUA
u1x−a1=u2y−a2=u3z−a3
eCUACIONES IMPLÍCITAS
{Ax+By+Cz+D=0A´x+B´y+C´z+D´=0
Recuerda que: al tener 3 coordenadas se obtienen 3 miembros en la ecuación continua, por lo que al simplificarla se tienen que elegir los miembros 2 a 2. Por lo tanto, hay múltiples combinaciones (todas válidas) y quedan dos ecuaciones implícitas en vez de una.
Ejemplo
Calcula todas las ecuaciones de la recta que pasan por el punto P(2,1,1) y tienen como vector director u(1,−1,2).