Inversa de una matriz: Cálculo y propiedades

Sea una matriz cuadrada de orden $$n$$, la matriz inversa de $$A$$ $$(A^{-1})$$ es una matriz que al multiplicarla por $$A$$​, el resultado es una matriz identidad $$(I)$$.​

​$$A \cdot A^{-1} = I = A^{-1} \cdot A$$

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Recuerda que: Una matriz $$A$$ de orden $$n$$ es solo invertible si $$rg (A) = n$$.

Ejemplo 

Demuestra que la matriz inversa de $$A= \begin{pmatrix}3 & 1 \\-3 & -1\\\end{pmatrix}$$ es $$A^{-1}=\begin{pmatrix}3 & 1\\2& 1\end{pmatrix}$$

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$$\begin{pmatrix}1 & 2\\3 & 7\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}7&-2\\-3&1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 0\\0 & 1\end{pmatrix}$$

Propiedades de la matriz inversa

Ejemplo

Dadas las matrices $$A$$ y $$B$$ y sus inversas

$$A= \begin{pmatrix}3 &4\\5 & 6\end{pmatrix}\space ; B= \begin{pmatrix}1 & 2\\1 & 3\end{pmatrix}; A^{-1}= \begin{pmatrix}-3 &2\\ \cfrac {5}{2} & \cfrac {-3}{2}\end{pmatrix}\space ; B^{-1}= \begin{pmatrix}3 & -2\\-1 & 1\end{pmatrix}$$

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Demuestra que $$(A \cdot B)^{-1} = B^{-1} \cdot A^{-1}$$

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$$(A \cdot B)^{-1}=\begin{bmatrix*}[r] \begin{pmatrix}3 &4\\5 & 6\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}1 & 2\\1 & 3\end{pmatrix}\end{bmatrix*}^{-1} = \begin{pmatrix}7 & 18\\11& 28\end{pmatrix}^{-1}= \begin{pmatrix}-14 & 9\\\cfrac {11}{2} & \cfrac{-7}{2}\end{pmatrix}$$

$$B^{-1} \cdot A^{-1} = \begin{pmatrix}3 &-2\\-1& 1\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}-3& 2\\\cfrac{5}{2} & \cfrac{-3}{2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-14 & 9\\\cfrac{11}{2} & \cfrac{-7}{2}\end{pmatrix}$$

Demuestra que $$(A^t)^{-1} = (A^{-1})^t$$​

$$(A^t)^{-1}= \begin{pmatrix}3 & 5\\4 & 6\end{pmatrix}^{-1} = \begin{pmatrix}-3 & \cfrac{5}{2}\\2 & \cfrac{-3}{2}\end{pmatrix}$$

$$(A^{-1})^t=\begin{pmatrix}-3 & 2\\\cfrac{5}{2} & \cfrac{-3}{2}\end{pmatrix}^{t} = \begin{pmatrix}-3 & \cfrac{5}{2}\\2 & \cfrac{-3}{2}\end{pmatrix}$$

Demuestra que $$(A^{-1})^{-1}=A$$

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$$(A^{-1})^{-1}= \begin{pmatrix}-3 & 2\\\cfrac{5}{2} & \cfrac{-3}{2}\end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix}3 & 5\\4 & 6\end{pmatrix}$$