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Inversa de una matriz: Cálculo y propiedades

Inversa de una matriz: Cálculo y propiedades

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Docente: Gadea

Resumen

Inversa de una matriz: Cálculo y propiedades

Sea una matriz cuadrada de orden nn, la matriz inversa de AA (A1)(A^{-1}) es una matriz que al multiplicarla por AA​, el resultado es una matriz identidad (I)(I).​


AA1=I=A1AA \cdot A^{-1} = I = A^{-1} \cdot A

​​

Recuerda que: Una matriz AA de orden nn es solo invertible si rg(A)=nrg (A) = n.


Ejemplo 

Demuestra que la matriz inversa de A=(3131)A= \begin{pmatrix}3 & 1 \\-3 & -1\\\end{pmatrix}  es A1=(3121)A^{-1}=\begin{pmatrix}3 & 1\\2& 1\end{pmatrix}

(1237)(7231)=(1001)\begin{pmatrix}1 & 2\\3 & 7\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}7&-2\\-3&1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 0\\0 & 1\end{pmatrix}



Propiedades de la matriz inversa

Inversa de un producto

(AB)1=B1A1(A \cdot B)^{-1} = B^{-1} \cdot A^{-1}​​

Inversa de una traspuesta

(At)1=(A1)t(A^t)^{-1} = (A^{-1})^t​​

Inversa de una inversa

(A1)1=A(A^{-1})^{-1}=A​​


Ejemplo

Dadas las matrices AA y BB y sus inversas


A=(3456) ;B=(1213);A1=(325232) ;B1=(3211)A= \begin{pmatrix}3 &4\\5 & 6\end{pmatrix}\space ; B= \begin{pmatrix}1 & 2\\1 & 3\end{pmatrix}; A^{-1}= \begin{pmatrix}-3 &2\\ \cfrac {5}{2} & \cfrac {-3}{2}\end{pmatrix}\space ; B^{-1}= \begin{pmatrix}3 & -2\\-1 & 1\end{pmatrix}

​​

Demuestra que (AB)1=B1A1(A \cdot B)^{-1} = B^{-1} \cdot A^{-1}


​​

(AB)1=[(3456)(1213)]1=(7181128)1=(14911272)(A \cdot B)^{-1}=\begin{bmatrix*}[r] \begin{pmatrix}3 &4\\5 & 6\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}1 & 2\\1 & 3\end{pmatrix}\end{bmatrix*}^{-1} = \begin{pmatrix}7 & 18\\11& 28\end{pmatrix}^{-1}= \begin{pmatrix}-14 & 9\\\cfrac {11}{2} & \cfrac{-7}{2}\end{pmatrix}


B1A1=(3211)(325232)=(14911272)B^{-1} \cdot A^{-1} = \begin{pmatrix}3 &-2\\-1& 1\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}-3& 2\\\cfrac{5}{2} & \cfrac{-3}{2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-14 & 9\\\cfrac{11}{2} & \cfrac{-7}{2}\end{pmatrix}


Demuestra que (At)1=(A1)t(A^t)^{-1} = (A^{-1})^t


(At)1=(3546)1=(352232)(A^t)^{-1}= \begin{pmatrix}3 & 5\\4 & 6\end{pmatrix}^{-1} = \begin{pmatrix}-3 & \cfrac{5}{2}\\2 & \cfrac{-3}{2}\end{pmatrix}


(A1)t=(325232)t=(352232)(A^{-1})^t=\begin{pmatrix}-3 & 2\\\cfrac{5}{2} & \cfrac{-3}{2}\end{pmatrix}^{t} = \begin{pmatrix}-3 & \cfrac{5}{2}\\2 & \cfrac{-3}{2}\end{pmatrix}


Demuestra que (A1)1=A(A^{-1})^{-1}=A

(A1)1=(325232)1=(3546)(A^{-1})^{-1}= \begin{pmatrix}-3 & 2\\\cfrac{5}{2} & \cfrac{-3}{2}\end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix}3 & 5\\4 & 6\end{pmatrix}


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Preguntas frecuentes

¿Cuál es el resultado de la inversa de una inversa?

¿Todas las matrices tienen una matriz inversa?

¿Qué es una matriz inversa?

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