Inversa de una matriz: Cálculo y propiedades

Sea una matriz cuadrada de orden $n$ , la matriz inversa de $A$ $(A^{-1})$ es una matriz que al multiplicarla por $A$ , el resultado es una matriz identidad $(I)$ .

$A \cdot A^{-1} = I = A^{-1} \cdot A$

Recuerda que: Una matriz $A$ de orden $n$ es solo invertible si $rg (A) = n$ .

Ejemplo

Demuestra que la matriz inversa de $A= \begin{pmatrix}3 & 1 \\-3 & -1\\\end{pmatrix}$ es $A^{-1}=\begin{pmatrix}3 & 1\\2& 1\end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix}1 & 2\\3 & 7\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}7&-2\\-3&1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 0\\0 & 1\end{pmatrix}$

Propiedades de la matriz inversa

Inversa de un producto	$(A \cdot B)^{-1} = B^{-1} \cdot A^{-1}$
Inversa de una traspuesta	$(A^t)^{-1} = (A^{-1})^t$
Inversa de una inversa	$(A^{-1})^{-1}=A$

Ejemplo

Dadas las matrices $A$ y $B$ y sus inversas

$A= \begin{pmatrix}3 &4\\5 & 6\end{pmatrix}\space ; B= \begin{pmatrix}1 & 2\\1 & 3\end{pmatrix}; A^{-1}= \begin{pmatrix}-3 &2\\ \cfrac {5}{2} & \cfrac {-3}{2}\end{pmatrix}\space ; B^{-1}= \begin{pmatrix}3 & -2\\-1 & 1\end{pmatrix}$

Demuestra que $(A \cdot B)^{-1} = B^{-1} \cdot A^{-1}$

$(A \cdot B)^{-1}=\begin{bmatrix*}[r] \begin{pmatrix}3 &4\\5 & 6\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}1 & 2\\1 & 3\end{pmatrix}\end{bmatrix*}^{-1} = \begin{pmatrix}7 & 18\\11& 28\end{pmatrix}^{-1}= \begin{pmatrix}-14 & 9\\\cfrac {11}{2} & \cfrac{-7}{2}\end{pmatrix}$

$B^{-1} \cdot A^{-1} = \begin{pmatrix}3 &-2\\-1& 1\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}-3& 2\\\cfrac{5}{2} & \cfrac{-3}{2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-14 & 9\\\cfrac{11}{2} & \cfrac{-7}{2}\end{pmatrix}$

Demuestra que $(A^t)^{-1} = (A^{-1})^t$ 

$(A^t)^{-1}= \begin{pmatrix}3 & 5\\4 & 6\end{pmatrix}^{-1} = \begin{pmatrix}-3 & \cfrac{5}{2}\\2 & \cfrac{-3}{2}\end{pmatrix}$

$(A^{-1})^t=\begin{pmatrix}-3 & 2\\\cfrac{5}{2} & \cfrac{-3}{2}\end{pmatrix}^{t} = \begin{pmatrix}-3 & \cfrac{5}{2}\\2 & \cfrac{-3}{2}\end{pmatrix}$

Demuestra que $(A^{-1})^{-1}=A$

$(A^{-1})^{-1}= \begin{pmatrix}-3 & 2\\\cfrac{5}{2} & \cfrac{-3}{2}\end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix}3 & 5\\4 & 6\end{pmatrix}$