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Sistemas homogéneos: Características y propiedades

Sistemas homogéneos: Características y propiedades

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Docente: Antonio

Resumen

Sistemas homogéneos: Características y propiedades

Resolver sistemas homogéneos

Definición

  • Un sistema de ecuaciones lineales es un sistema homogéneo si todos sus términos independientes son nulos. 
  • La expresión matricial de un sistema de ecuaciones homogéneo de mm ecuaciones con nn incógnitas es de la forma AX=0AX=0, donde 00 es la matriz nula de dimensión m×1m\times1.


Características de un sistema homogéneo

  • Son siempre compatibles, ya que la matriz ampliada solo añade una columna de ceros a la matriz de coeficientes por lo que sus rangos siempre son iguales.
  • Siempre parten de la conocida como solución trivial; la cual esta formada por nn​ ceros. Por lo tanto, el estudio de este tipo de sistemas se centra en saber si existen, además de la solución trivial, más soluciones.

Recuerda que: Un sistema de ecuaciones si tiene solución, o es única, o existen infinitas soluciones.

Propiedades de un sistema homogéneo

1.
Si (s1,s2,s3,...,sn)t(s_{1}, s_{2},s_{3},...,s_{n})^{t} es una solución de un sistema homogéneo y λR\lambda \in \R, siendo λ0\lambda\neq0, entonces (λs1,λs2,λs2,...,λsn)t(\lambda s_{1},\lambda s_{2},\lambda s_{2},...,\lambda s_{n})^{t} también es solución del sistema.​
2.
Si (s1,s2,s3,...,sn)t(s_{1},s_{2},s_{3},...,s_{n})^{t} y (w1,w2,w3,...,wn)t(w_{1},w_{2},w_{3},...,w_{n})^{t} son soluciones de un sistema homogéneo, también es solución del sistema (s1+w1,s2+w2,s3+w3,...,sn+wn)t(s_{1}+w_{1},s_{2}+w_{2},s_{3}+w_{3},...,s_{n}+w_{n})^{t}.​


Ejemplo

Resuelve el siguiente sistema homogéneo:

{x+y+z=0xy=0x+3y+2z=0\begin{cases}{x+y+z=0}\\{x-y=0}\\{x+3y+2z=0}\end{cases}


Escribe la matriz de coeficientes:

A=(111110132)\it A=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&-1&0\\1&3&2\end{pmatrix}​​


Calcula el rango de AA:

111110132=2+0+3+12+0=0 rg(A)<3\begin{vmatrix}1&1&1\\1&-1&0\\1&3&2\end{vmatrix}=-2+0+3+1-2+0=0\implies rg(A)<3

1111=2 rg(A)=2\begin{vmatrix}1&1\\1&-1\\\end{vmatrix}=-2\implies rg(A)=2


Como AA tiene rango 22, por el Teorema de Rouché-Frobenius, el sistema tendrá infinitas soluciones.

Toma las dos primeras ecuaciones ya que son linealmente independientes y hacemos x=λx=\lambda con λR\lambda \in \R:

{λ+y+z=0λy=0 y=λz=2λ\begin{cases}{ \lambda+y+z=0}\\{\lambda-y=0}\end{cases}\implies y=\lambda \quad z=-2\lambda


Finalmente, se obtiene:

x=λy=λz=2λ x=\lambda\quad y=\lambda\quad z=-2\lambda


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Preguntas frecuentes

¿Cómo se resuelve un sistema homogéneo?

¿Qué es un sistema homogéneo?

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