Sistemas homogéneos: Características y propiedades

Resolver sistemas homogéneos

Un sistema de ecuaciones lineales es un sistema homogéneo si todos sus términos independientes son nulos.
La expresión matricial de un sistema de ecuaciones homogéneo de $m$ ecuaciones con $n$ incógnitas es de la forma $AX=0$ , donde $0$ es la matriz nula de dimensión $m\times1$ .

Son siempre compatibles, ya que la matriz ampliada solo añade una columna de ceros a la matriz de coeficientes por lo que sus rangos siempre son iguales.
Siempre parten de la conocida como solución trivial; la cual esta formada por $n$ ceros. Por lo tanto, el estudio de este tipo de sistemas se centra en saber si existen, además de la solución trivial, más soluciones.

Recuerda que: Un sistema de ecuaciones si tiene solución, o es única, o existen infinitas soluciones.

1.	Si $(s_{1}, s_{2},s_{3},...,s_{n})^{t}$ es una solución de un sistema homogéneo y $\lambda \in \R$ , siendo $\lambda\neq0$ , entonces $(\lambda s_{1},\lambda s_{2},\lambda s_{2},...,\lambda s_{n})^{t}$ también es solución del sistema.
2.	Si $(s_{1},s_{2},s_{3},...,s_{n})^{t}$ y $(w_{1},w_{2},w_{3},...,w_{n})^{t}$ son soluciones de un sistema homogéneo, también es solución del sistema $(s_{1}+w_{1},s_{2}+w_{2},s_{3}+w_{3},...,s_{n}+w_{n})^{t}$ .

Resuelve el siguiente sistema homogéneo:

$\begin{cases}{x+y+z=0}\\{x-y=0}\\{x+3y+2z=0}\end{cases}$

Escribe la matriz de coeficientes:

$\it A=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&-1&0\\1&3&2\end{pmatrix}$

Calcula el rango de $A$ :

$\begin{vmatrix}1&1&1\\1&-1&0\\1&3&2\end{vmatrix}=-2+0+3+1-2+0=0\implies rg(A)<3$

$\begin{vmatrix}1&1\\1&-1\\\end{vmatrix}=-2\implies rg(A)=2$

Como $A$ tiene rango $2$ , por el Teorema de Rouché-Frobenius, el sistema tendrá infinitas soluciones.

Toma las dos primeras ecuaciones ya que son linealmente independientes y hacemos $x=\lambda$ con $\lambda \in \R$ :

$\begin{cases}{ \lambda+y+z=0}\\{\lambda-y=0}\end{cases}\implies y=\lambda \quad z=-2\lambda$

Finalmente, se obtiene:

$x=\lambda\quad y=\lambda\quad z=-2\lambda$