Regla de Cramer: Resolución de sistemas compatibles determinados

​​Resolución de sistemas de Cramer

Si la matriz de coeficientes de un sistema de ecuaciones lineales es cuadrada y tiene determinante distinto de 0, este se dice que es un sistema de Cramer. Este tipo de sistemas siempre tienen solución única, y se pueden resolver mediante la regla de Cramer:

$$x_{1}=\cfrac{\Delta_{1}}{|A|}\quad x_{2}=\cfrac{\Delta_{2}}{|A|}\quad x_{3}=\cfrac{\Delta_{3}}{|A|}...\quad x_{n}=\cfrac{\Delta_{n}}{|A|}$$​​

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Donde $$x_{1},x_{2},x_{3},...,x_{n}$$ son las incógnitas del sistema, $$A$$ es la matriz de coeficientes y los $$\Delta_{i}$$ son los determinantes que resultan al sustituir, en $$A$$, la columna $$i$$ por los términos independientes.

Ejemplo

Resuelve el siguiente sistema mediante la regla de Cramer:

​$$\begin {cases}2x-y+z=3\\ 2y-z=1\\ x-y=1\end{cases}$$

Empezamos comprobando si es un sistema de Cramer; Se puede apreciar que hay el mismo número de ecuaciones que de incógnitas así que la matriz de coeficientes será cuadrada. Sólo falta ver el determinante: 

$$\begin {vmatrix}2&-1&1\\0&2&-1\\1&-1&0\end{vmatrix}={0+1+0-2-2=-3\neq0}$$

Ya hemos confirmado que es un sistema de Cramer. Ahora, aplicamos la regla de Cramer para resolverlo

$$x=\cfrac{\begin{vmatrix}3&-1&1\\1&2&-1\\1&-1&0\end{vmatrix}}{|A|}={\cfrac{-5}{-3}=\cfrac{5}{3}}\quad\quad y=\cfrac{\begin{vmatrix}2&3&1\\0&1&-1\\1&1&0\end{vmatrix}}{|A|}={\cfrac{-2}{-3}=\cfrac{2}{3}}\quad\quad z=\cfrac{\begin{vmatrix}2&-1&3\\0&2&1\\1&-1&1\end{vmatrix}}{|A|}={\cfrac{-1}{-3}=\cfrac{1}{3}}$$

$$\underline{x=\cfrac{5}{3}\ ;\ y = \cfrac{2}{3} \ ; \ z= \cfrac{1}{3}}$$

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