¿Que significa f'(x)< 0?

Significa que la función f(x) es creciente en el intervalo que se indica

¿Cómo obtener el punto c tras comprobar el teorema del valor medio?

Cuando has calculado f'(c)=[f(b)-f(a)]/[b-a] , obtienes un valor. Ese valor lo tienes que igualar a la derivada f'(x) para x=c. Resuelves la ecuación y la raíz que pertenezca al intervalo será el punto c

¡Poder ilimitado desbloqueado!

Consigue evulpo Unlimited ahora

¡Poder ilimitado desbloqueado!

Vídeos explicativos sin publicidad evulpo

Número ilimitado de ejercicios

Resúmenes para descargar

Estadísticas detalladas de aprendizaje

Informe semanal de tu progreso

Puedes cancelar en cualquier momento

A partir de 5.42 € /al mes

¡Benefíciate ahora de la suscripción anual!

Ahorra un 28%

~~6,99 €/mes~~

Ahorra un 28%

5€/mes

Resumen del capítulo

Objetivos de aprendizaje

Matemáticas

Estudio de derivadas: Teorema del Valor Medio

Q: ¿Que significa f'(x)< 0?

Significa que la función f(x) es creciente en el intervalo que se indica

Q: ¿Cómo obtener el punto c tras comprobar el teorema del valor medio?

Cuando has calculado f'(c)=[f(b)-f(a)]/[b-a] , obtienes un valor. Ese valor lo tienes que igualar a la derivada f'(x) para x=c. Resuelves la ecuación y la raíz que pertenezca al intervalo será el punto c

Q: ¿Cuáles son las hipótesis del teorema del valor medio?

El teorema del valor medio dice que si una función f(x) es continua en [a,b] y derivable en (a,b) entonces existe un punto c que pertenece al intervalo (a,b) tal que f'(c)=[f(b)-f(a)]/[b-a]

Tu progreso en la lección

Resumen

Descargar

Estudio de derivadas: Teorema del Valor Medio

Teorema del valor medio

Sea $f(x)$ una función continua en $[a,b]$ y derivable en $(a,b)$ , entonces existe un punto $c \in (a,b)$ que cumple:

$f'(c)= \cfrac {f(b)-f(a)}{b-a}$

Ejemplo

Comprueba el Teorema del Valor Medio $f(x)=3x^2 +2x+8$ en $[1,3]$

Comprueba las hipótesis

$f(x)$ es continua en $[1,3]$ por ser función polinómica

$f(x)$ es derivable en $(1,3)$ por ser función polinómica

Por tanto la derivada de $f(x)$ en $c$ es:

$f'(c) = \cfrac {f(3)-f(1)}{3-1} = \cfrac{41-13}{2}=14$

$14$ es el valor de la derivada en el punto $c$

Si calculas la derivada en $c$ y la igualas a $14$ , obtienes que $c$ es

$f'(c)=6c+2=146\Rightarrow c=12 \Rightarrow c=\cfrac{12}{6} \Rightarrow \underline {c=2}$

$c \in [1,3]$

Consecuencias del Teorema del Valor Medio

Sea $f(x)$ derivable en $(a,b)$

Si $f'(x)=0 \rightarrow$ $f(x)$ es constante en $(a,b)$
Si $f'(x) \gt 0 \rightarrow$ $f(x)$ es creciente en $(a, b)$
Si $f'(x) <0 \rightarrow f(x)$ es decreciente en $(a,b)$

Además, si $f(x)$ es continua en $a$ y existe $\lim_{x \to a^+}f'(x)$ entonces $f'(a^+) = \lim_{x\to a^+}f'(x)$ y lo mismo para $a^-$ .

Estudio de derivadas: Teorema del Valor Medio

Teorema del valor medio

Sea $f(x)$ una función continua en $[a,b]$ y derivable en $(a,b)$ , entonces existe un punto $c \in (a,b)$ que cumple:

$f'(c)= \cfrac {f(b)-f(a)}{b-a}$

Ejemplo

Comprueba el Teorema del Valor Medio $f(x)=3x^2 +2x+8$ en $[1,3]$

Comprueba las hipótesis

$f(x)$ es continua en $[1,3]$ por ser función polinómica

$f(x)$ es derivable en $(1,3)$ por ser función polinómica

Por tanto la derivada de $f(x)$ en $c$ es:

$f'(c) = \cfrac {f(3)-f(1)}{3-1} = \cfrac{41-13}{2}=14$

$14$ es el valor de la derivada en el punto $c$

Si calculas la derivada en $c$ y la igualas a $14$ , obtienes que $c$ es

$f'(c)=6c+2=146\Rightarrow c=12 \Rightarrow c=\cfrac{12}{6} \Rightarrow \underline {c=2}$

$c \in [1,3]$

Consecuencias del Teorema del Valor Medio

Sea $f(x)$ derivable en $(a,b)$

Si $f'(x)=0 \rightarrow$ $f(x)$ es constante en $(a,b)$
Si $f'(x) \gt 0 \rightarrow$ $f(x)$ es creciente en $(a, b)$
Si $f'(x) <0 \rightarrow f(x)$ es decreciente en $(a,b)$

Además, si $f(x)$ es continua en $a$ y existe $\lim_{x \to a^+}f'(x)$ entonces $f'(a^+) = \lim_{x\to a^+}f'(x)$ y lo mismo para $a^-$ .

¿Atascado con la lección? Echa un vistazo a:

Continuidad de una función: Teorema de Darboux

Sobre la lección

Preguntas frecuentes (FAQ)

FAQs

Pregunta: ¿Que significa f'(x)< 0?

Respuesta: Significa que la función f(x) es creciente en el intervalo que se indica
Pregunta: ¿Cómo obtener el punto c tras comprobar el teorema del valor medio?

Respuesta: Cuando has calculado f'(c)=[f(b)-f(a)]/[b-a] , obtienes un valor. Ese valor lo tienes que igualar a la derivada f'(x) para x=c. Resuelves la ecuación y la raíz que pertenezca al intervalo será el punto c
Pregunta: ¿Cuáles son las hipótesis del teorema del valor medio?

Respuesta: El teorema del valor medio dice que si una función f(x) es continua en [a,b] y derivable en (a,b) entonces existe un punto c que pertenece al intervalo (a,b) tal que f'(c)=[f(b)-f(a)]/[b-a]