Aplicación de las derivadas: Problemas de optimización 

Optimizar es, esencialmente, encontrar los valores máximos y mínimos de una función mediante la aplicación de derivadas

procedimiento 

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​​Ejemplo 

Calcula los extremos absolutos de la función $$f(x)=2x^3-3x^2$$ en [0,2]

Calcula la derivada de $$f(x)$$

$$f'(x)=6x^2-6x$$

Iguala la derivada a cero y calcula las raíces 

$$f'(x)=6x^2-6x=0 \rightarrow 6x(x-1)=0 \rightarrow x=0 \space ; \space x=1$$

Ambas raíces pertenecen al intervalo en el que se estudia. 

Estudiando el crecimiento de la función en cada intervalo vemos que

​$$\underline{ \text{ En } x=0 \text{ hay un máximo absoluto} \rightarrow P ( 0 , f(0) ) = ( 0, 0) }\\$$

​$$\underline{ \text{ En } x=1 \text{ hay un mínimo absoluto} \rightarrow Q ( 1, f(1) ) = ( 1 , -1 ) }$$

Ejemplo

Halla el valor de dos números cuya suma sea $$20$$ y el producto de ambos sea máximo

Las dos funciones del problema son:

​$$S = x + y = 20$$

$$P = x \cdot y$$

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Si despejas una de las variables obtienes que: 

​$$S = x + y = 20 \rightarrow y = 20 - x$$

Si introduces esta igualdad en la función $$P$$ tienes que:

$$P = x (20 - x) = 20x - x^2$$

Para que sea máximo, calcular  $$P'= 0$$

​​​$$P' = 20 - 2x= 0 \rightarrow \underline { x = 10}$$

$$y = 20 - x = 20 - 10 = 10 \rightarrow \underline {y=10}$$

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