Funciones irracionales: Análisis y representación

Funciones irracionales 

Una función irracional o radical tiene la variable independiente dentro de una raíz. Siguiendo la forma más básica $$\sqrt [n]{x^m}$$​ en la que $$n$$​ y $$m$$​ son números naturales mayores o iguales a dos, puedes encontrarte ante cuatro casos:

Ejemplo

Analiza y representa la función $$\sqrt{x^2+x}$$

Se trata de una función con $$m$$ y $$n$$ pares.

El dominio es $$\underline{(-\infty,-1]\cup[0,+\infty)}$$ porque son los valores en los que el radicando es mayor que cero.

Los $$\lim\limits_{x\to\pm\infty}f(x)=+\infty$$ por lo que no hay asíntota horizontal.

Para averiguar las asíntotas oblicuas de la forma $$y=mx+n$$ se aplica la fórmula:

​$$m=\lim\limits_{x\to-\infty}\cfrac{f(x)}{x}=\lim\limits_{x\to-\infty}\cfrac{\sqrt{x^2+x}}{x}=\lim\limits_{x\to-\infty}\sqrt{\cfrac{x^2+x}{x^2}}=1$$​​

​$$n=\lim\limits_{x\to+\infty}(f(x)-mx)=\lim\limits_{x\to+\infty}\sqrt{x^2+x}-x=$$

$$=\lim\limits_{x\to-\infty}\cfrac{(\sqrt{x^2+x}-x)(\sqrt{x^2+x}+x)}{\sqrt{x^2+x}+x}=\lim\limits_{x\to-\infty}\cfrac{x}{\sqrt{x^2+x}+x}=\lim\limits_{t\to-\infty}\cfrac{-t}{\sqrt{t^2-t}-t}=-\cfrac{1}{2}$$​​​

​

La recta  $$\underline{{y=x+\cfrac{1}{2}}}$$  es la asíntota oblicua en $${+\infty}$$.

Como en $$-\infty$$ la función $$m=\lim\limits_{x\to-\infty}\cfrac{f(x)}{x}=\lim\limits_{x\to-\infty}\cfrac{\sqrt{x^2+1}}{x}$$ toma valores negativos, se hace el cambio $$x=-t$$:

$$m=\lim\limits_{t\to-\infty}\cfrac{f(-t)}{-t}=\lim\limits_{t\to-\infty}\cfrac{\sqrt{t^2-t}}{-t}=-1$$​​

​$$n=\lim\limits_{x\to-\infty}(f(x)-mx)=\lim\limits_{x\to-\infty}\sqrt{x^2+x}-x=\lim\limits_{x\to-\infty}\cfrac{(\sqrt{x^2+x}-x)(\sqrt{x^2+x}+x)}{\sqrt{x^2+x}+x}=\lim\limits_{x\to-\infty}\cfrac{x}{\sqrt{x^2+x}+x}=\lim\limits_{t\to-\infty}\cfrac{-t}{\sqrt{t^2-t}-t}=-\cfrac{1}{2}$$​​

La recta  $$\underline{y=-x-\cfrac{1}{2}}$$  es la asíntota oblicua en $${-\infty}$$​.