Funciones irracionales: Análisis y representación Funciones irracionales Una función irracional o radical tiene la variable independiente dentro de una raíz. Siguiendo la forma más básica x m n \sqrt [n]{x^m} n x m en la que n n n y m m m son números naturales mayores o iguales a dos, puedes encontrarte ante cuatro casos:
M par M impar N par
D o m i n i o = R Dominio = \R Do mini o = R
lim x → + ∞ f ( x ) = + ∞ \lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty x → + ∞ lim f ( x ) = + ∞
lim x → − ∞ f ( x ) = + ∞ \lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=+\infty x → − ∞ lim f ( x ) = + ∞
f ( − x ) = f ( x ) f(-x)=f(x) f ( − x ) = f ( x )
D o m i n i o = [ 0 , + ∞ ) Dominio = [0,+\infty) Do mini o = [ 0 , + ∞ )
lim x → + ∞ f ( x ) = + ∞ \lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty x → + ∞ lim f ( x ) = + ∞
N impar
D o m i n i o = R Dominio = \R Do mini o = R
lim x → + ∞ f ( x ) = + ∞ \lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty x → + ∞ lim f ( x ) = + ∞
lim x → − ∞ f ( x ) = + ∞ \lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=+\infty x → − ∞ lim f ( x ) = + ∞
f ( − x ) = f ( x ) f(-x)=f(x) f ( − x ) = f ( x )
D o m i n i o = R Dominio=\R Do mini o = R
lim x → + ∞ f ( x ) = + ∞ \lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty x → + ∞ lim f ( x ) = + ∞
lim x → − ∞ f ( x ) = + ∞ \lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=+\infty x → − ∞ lim f ( x ) = + ∞
f ( − x ) = − f ( x ) f(-x)=-f(x) f ( − x ) = − f ( x )
Ejemplo Analiza y representa la función x 2 + x \sqrt{x^2+x} x 2 + x
Se trata de una función con m m m y n n n pares.
El dominio es ( − ∞ , − 1 ] ∪ [ 0 , + ∞ ) ‾ \underline{(-\infty,-1]\cup[0,+\infty)} ( − ∞ , − 1 ] ∪ [ 0 , + ∞ ) porque son los valores en los que el radicando es mayor que cero.
Los lim x → ± ∞ f ( x ) = + ∞ \lim\limits_{x\to\pm\infty}f(x)=+\infty x → ± ∞ lim f ( x ) = + ∞ por lo que no hay asíntota horizontal.
Para averiguar las asíntotas oblicuas de la forma y = m x + n y=mx+n y = m x + n se aplica la fórmula:
m = lim x → − ∞ f ( x ) x = lim x → − ∞ x 2 + x x = lim x → − ∞ x 2 + x x 2 = 1 m=\lim\limits_{x\to-\infty}\cfrac{f(x)}{x}=\lim\limits_{x\to-\infty}\cfrac{\sqrt{x^2+x}}{x}=\lim\limits_{x\to-\infty}\sqrt{\cfrac{x^2+x}{x^2}}=1 m = x → − ∞ lim x f ( x ) = x → − ∞ lim x x 2 + x = x → − ∞ lim x 2 x 2 + x = 1
n = lim x → + ∞ ( f ( x ) − m x ) = lim x → + ∞ x 2 + x − x = n=\lim\limits_{x\to+\infty}(f(x)-mx)=\lim\limits_{x\to+\infty}\sqrt{x^2+x}-x= n = x → + ∞ lim ( f ( x ) − m x ) = x → + ∞ lim x 2 + x − x =
= lim x → − ∞ ( x 2 + x − x ) ( x 2 + x + x ) x 2 + x + x = lim x → − ∞ x x 2 + x + x = lim t → − ∞ − t t 2 − t − t = − 1 2 =\lim\limits_{x\to-\infty}\cfrac{(\sqrt{x^2+x}-x)(\sqrt{x^2+x}+x)}{\sqrt{x^2+x}+x}=\lim\limits_{x\to-\infty}\cfrac{x}{\sqrt{x^2+x}+x}=\lim\limits_{t\to-\infty}\cfrac{-t}{\sqrt{t^2-t}-t}=-\cfrac{1}{2} = x → − ∞ lim x 2 + x + x ( x 2 + x − x ) ( x 2 + x + x ) = x → − ∞ lim x 2 + x + x x = t → − ∞ lim t 2 − t − t − t = − 2 1
La recta y = x + 1 2 ‾ \underline{{y=x+\cfrac{1}{2}}} y = x + 2 1 es la asíntota oblicua en + ∞ {+\infty} + ∞ .
Como en − ∞ -\infty − ∞ la función m = lim x → − ∞ f ( x ) x = lim x → − ∞ x 2 + 1 x m=\lim\limits_{x\to-\infty}\cfrac{f(x)}{x}=\lim\limits_{x\to-\infty}\cfrac{\sqrt{x^2+1}}{x} m = x → − ∞ lim x f ( x ) = x → − ∞ lim x x 2 + 1 toma valores negativos, se hace el cambio x = − t x=-t x = − t :
m = lim t → − ∞ f ( − t ) − t = lim t → − ∞ t 2 − t − t = − 1 m=\lim\limits_{t\to-\infty}\cfrac{f(-t)}{-t}=\lim\limits_{t\to-\infty}\cfrac{\sqrt{t^2-t}}{-t}=-1 m = t → − ∞ lim − t f ( − t ) = t → − ∞ lim − t t 2 − t = − 1
n = lim x → − ∞ ( f ( x ) − m x ) = lim x → − ∞ x 2 + x − x = lim x → − ∞ ( x 2 + x − x ) ( x 2 + x + x ) x 2 + x + x = lim x → − ∞ x x 2 + x + x = lim t → − ∞ − t t 2 − t − t = − 1 2 n=\lim\limits_{x\to-\infty}(f(x)-mx)=\lim\limits_{x\to-\infty}\sqrt{x^2+x}-x=\lim\limits_{x\to-\infty}\cfrac{(\sqrt{x^2+x}-x)(\sqrt{x^2+x}+x)}{\sqrt{x^2+x}+x}=\lim\limits_{x\to-\infty}\cfrac{x}{\sqrt{x^2+x}+x}=\lim\limits_{t\to-\infty}\cfrac{-t}{\sqrt{t^2-t}-t}=-\cfrac{1}{2} n = x → − ∞ lim ( f ( x ) − m x ) = x → − ∞ lim x 2 + x − x = x → − ∞ lim x 2 + x + x ( x 2 + x − x ) ( x 2 + x + x ) = x → − ∞ lim x 2 + x + x x = t → − ∞ lim t 2 − t − t − t = − 2 1
La recta y = − x − 1 2 ‾ \underline{y=-x-\cfrac{1}{2}} y = − x − 2 1 es la asíntota oblicua en − ∞ {-\infty} − ∞ .