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Representación de funciones

Funciones irracionales: Análisis y representación

Funciones irracionales: Análisis y representación

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Docente: Pablo

Resumen

Funciones irracionales: Análisis y representación

Funciones irracionales 

Una función irracional o radical tiene la variable independiente dentro de una raíz. Siguiendo la forma más básica xmn\sqrt [n]{x^m}​ en la que nn​ y mm​ son números naturales mayores o iguales a dos, puedes encontrarte ante cuatro casos:



M par

M impar

N par

Dominio=RDominio = \R​​
limx+f(x)=+\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty​​
limxf(x)=+\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=+\infty​​
f(x)=f(x)f(-x)=f(x)​​
Dominio=[0,+)Dominio = [0,+\infty)​​
limx+f(x)=+\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty​​

N impar

Dominio=RDominio = \R​​
limx+f(x)=+\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty​​
limxf(x)=+\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=+\infty​​
f(x)=f(x)f(-x)=f(x)​​
Dominio=RDominio=\R​​
limx+f(x)=+\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty​​
limxf(x)=+\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=+\infty​​
f(x)=f(x)f(-x)=-f(x)​​

Ejemplo

Analiza y representa la función x2+x\sqrt{x^2+x}


Se trata de una función con mmnn pares.

El dominio es (,1][0,+)\underline{(-\infty,-1]\cup[0,+\infty)} porque son los valores en los que el radicando es mayor que cero.

Los limx±f(x)=+\lim\limits_{x\to\pm\infty}f(x)=+\infty por lo que no hay asíntota horizontal.

Para averiguar las asíntotas oblicuas de la forma y=mx+ny=mx+n se aplica la fórmula:


m=limxf(x)x=limxx2+xx=limxx2+xx2=1m=\lim\limits_{x\to-\infty}\cfrac{f(x)}{x}=\lim\limits_{x\to-\infty}\cfrac{\sqrt{x^2+x}}{x}=\lim\limits_{x\to-\infty}\sqrt{\cfrac{x^2+x}{x^2}}=1​​


n=limx+(f(x)mx)=limx+x2+xx=n=\lim\limits_{x\to+\infty}(f(x)-mx)=\lim\limits_{x\to+\infty}\sqrt{x^2+x}-x=


=limx(x2+xx)(x2+x+x)x2+x+x=limxxx2+x+x=limttt2tt=12=\lim\limits_{x\to-\infty}\cfrac{(\sqrt{x^2+x}-x)(\sqrt{x^2+x}+x)}{\sqrt{x^2+x}+x}=\lim\limits_{x\to-\infty}\cfrac{x}{\sqrt{x^2+x}+x}=\lim\limits_{t\to-\infty}\cfrac{-t}{\sqrt{t^2-t}-t}=-\cfrac{1}{2}​​​


La recta  y=x+12\underline{{y=x+\cfrac{1}{2}}}  es la asíntota oblicua en +{+\infty}.


Como en -\infty la función m=limxf(x)x=limxx2+1xm=\lim\limits_{x\to-\infty}\cfrac{f(x)}{x}=\lim\limits_{x\to-\infty}\cfrac{\sqrt{x^2+1}}{x} toma valores negativos, se hace el cambio x=tx=-t:


m=limtf(t)t=limtt2tt=1m=\lim\limits_{t\to-\infty}\cfrac{f(-t)}{-t}=\lim\limits_{t\to-\infty}\cfrac{\sqrt{t^2-t}}{-t}=-1​​


n=limx(f(x)mx)=limxx2+xx=limx(x2+xx)(x2+x+x)x2+x+x=limxxx2+x+x=limttt2tt=12n=\lim\limits_{x\to-\infty}(f(x)-mx)=\lim\limits_{x\to-\infty}\sqrt{x^2+x}-x=\lim\limits_{x\to-\infty}\cfrac{(\sqrt{x^2+x}-x)(\sqrt{x^2+x}+x)}{\sqrt{x^2+x}+x}=\lim\limits_{x\to-\infty}\cfrac{x}{\sqrt{x^2+x}+x}=\lim\limits_{t\to-\infty}\cfrac{-t}{\sqrt{t^2-t}-t}=-\cfrac{1}{2}​​


La recta  y=x12\underline{y=-x-\cfrac{1}{2}}  es la asíntota oblicua en {-\infty}​.

Matemáticas; Representación de funciones; 1. Bachillerato; Funciones irracionales: Análisis y representación


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