Resolución de un sistema lineal como ecuación matricial

Resolución de un sistema lineal como ecuación matricial 

Si la expresión matricial de un sistema es $$AX=B$$, siendo A una matriz cuadrada e invertible, entonces puede despejarse la matriz de las incógnitas:

​$$AX=B\implies A^{-1}AX=A^{-1}B\implies X=A^{-1}B$$

Ejemplo

Resuelve el siguiente sistema como una ecuación matricial:

​$$\begin{cases} x-2y+z=3\\2x-5y+3z=4\\5x+y+7z=11\end{cases}$$

En primer lugar, debemos de escribir el sistema en forma matricial:

$$\begin {pmatrix} 1&-2&1\\2&-5&3\\5&1&7\end{pmatrix}\begin {pmatrix} x\\ y\\ z\end{pmatrix}=\begin {pmatrix}3\\4\\11\end{pmatrix}$$

Comprobamos si la matriz de coeficientes es invertible:

$$\begin {vmatrix}1&-2&1\\2&-5&3\\5&1&7\end{vmatrix}={-35-30+2-\left (-25-28+3\right)=-63+50=-13\neq0}$$

​​

Es invertible, por lo que podemos resolver el sistema mediante la siguiente ecuación matricial:

$$\begin{pmatrix} x\\ y\\ z\end{pmatrix}=\begin {pmatrix}1&-2&1\\2&-5&3\\5&1&7\end{pmatrix}^{-1}\begin{pmatrix}3\\4\\11\end{pmatrix}$$​​

Hacemos lo cálculos y obtenemos la solución:

$$A^{-1}=\cfrac{1}{det(A)}\cdot\left (Adj\left (A\right)\right)^t\\\begin {pmatrix}1&-2&1\\2&-5&3\\5&1&7\end{pmatrix}^{-1}=\cfrac{1}{-13}\begin {pmatrix}-38&1&27\\15&2&-11\\-1&-1&-1\end{pmatrix}^t=\begin {pmatrix}\cfrac{38}{13}&\cfrac{-15}{13}&\cfrac{1}{13}\\\cfrac{-1}{13}&\cfrac{-2}{13}&\cfrac{1}{13}\\\cfrac{-27}{13}&\cfrac{11}{13}&\cfrac{1}{13}\end{pmatrix}\\\\\begin{pmatrix} x\\ y\\ z\end{pmatrix}=\begin {pmatrix}\cfrac{38}{13}&\cfrac{-15}{13}&\cfrac{1}{13}\\\cfrac{-1}{13}&\cfrac{-2}{13}&\cfrac{1}{13}\\\cfrac{-27}{13}&\cfrac{11}{13}&\cfrac{1}{13}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3\\4\\11\end{pmatrix}$$

$$\underline{\begin{pmatrix}\it x\\\it y\\\it z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\it5\\\it0\\\it-2\end{pmatrix}}$$

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