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Teorema de la probabilidad total

Teorema de la probabilidad total

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Docente: Pablo

Resumen

Teorema de la probabilidad total

Partición del espacio muestral

Una serie de sucesos forman una partición del espacio muestral si son incompatibles dos a dos y si la unión de todos ellos cubre el espacio muestral.


AiAj= A_i\cap A_j =\varnothing \space

A1A2...Ak=EA_1\cup A_2\cup ...\cup A_k=E​​



Ejemplo

En un instituto se selecciona un alumno al azar y se anota la clase en la que estudia. Las clases forman una partición del espacio muestral porque no puede pertenecerse a dos a la vez y la suma de todas las clases es el espacio muestral.


Teorema de la probabilidad total

Si la serie de sucesos AkA_k​ forma una partición del espacio muestral y BB​ es un suceso fuera de ese espacio, entonces


P(B)=P(A1)P(BA1)+P(A2)P(BA2)+...+P(Ak)P(BAk)P(B)=P(A_1)\cdot P(B\vert A_1)+P(A_2)\cdot P(B\vert A_2)+...+P(A_k)\cdot P(B\vert A_k)​​


Ejemplo

Se tira un dado y si sale un número mayor o igual que cinco se extrae una bola de la urna U1U_1 que contiene 55 bolas blancas y 55 bolas azules. Si sale menor que cinco se extrae de la urna U2U_2 que contiene 33 bolas blancas y 77 bolas azules. ¿Cuál es la probabilidad de sacar una bola blanca, P(B)P(B)​?


La probabilidad de extraer en cada una de las urnas es:

P(U1)=13P(U2)=23P(U_1)=\cfrac{1}{3} \hspace{15mm} P(U_2)=\cfrac{2}{3} 



La probabilidad de sacar blanca en cada una de las urnas es


P(BU1)=510P(BU2)=310P(B\vert U_1)=\cfrac{5}{10} \hspace{15mm} P(B\vert U_2)=\cfrac{3}{10}​​​


Aplicando el teorema de la probabilidad total:


P(B)=P(U1)P(BU1)+P(U2)P(BU2)P(B)=13510+23310=1130=0,3666=36,67%P(B)=P(U_1)\cdot P(B\vert U_1)+P(U_2)\cdot P(B\vert U_2)\newline P(B)=\cfrac{1}{3}\cdot \cfrac{5}{10} + \cfrac{2}{3}\cdot\cfrac{3}{10}=\underline{\cfrac{11}{30}}=0,3666=36,67\%


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Preguntas frecuentes

¿Para qué sirve el teorema de la probabilidad total?

¿Qué es una partición del espacio muestral?