Teorema de la probabilidad total

Partición del espacio muestral

Una serie de sucesos forman una partición del espacio muestral si son incompatibles dos a dos y si la unión de todos ellos cubre el espacio muestral.

$A_i\cap A_j =\varnothing \space$

$A_1\cup A_2\cup ...\cup A_k=E$

Ejemplo

En un instituto se selecciona un alumno al azar y se anota la clase en la que estudia. Las clases forman una partición del espacio muestral porque no puede pertenecerse a dos a la vez y la suma de todas las clases es el espacio muestral.

Teorema de la probabilidad total

Si la serie de sucesos $A_k$ forma una partición del espacio muestral y $B$ es un suceso fuera de ese espacio, entonces

$P(B)=P(A_1)\cdot P(B\vert A_1)+P(A_2)\cdot P(B\vert A_2)+...+P(A_k)\cdot P(B\vert A_k)$

Ejemplo

Se tira un dado y si sale un número mayor o igual que cinco se extrae una bola de la urna $U_1$ que contiene $5$ bolas blancas y $5$ bolas azules. Si sale menor que cinco se extrae de la urna $U_2$ que contiene $3$ bolas blancas y $7$ bolas azules. ¿Cuál es la probabilidad de sacar una bola blanca, $P(B)$ ?

La probabilidad de extraer en cada una de las urnas es:

$P(U_1)=\cfrac{1}{3} \hspace{15mm} P(U_2)=\cfrac{2}{3}$

La probabilidad de sacar blanca en cada una de las urnas es

$P(B\vert U_1)=\cfrac{5}{10} \hspace{15mm} P(B\vert U_2)=\cfrac{3}{10}$

Aplicando el teorema de la probabilidad total:

$P(B)=P(U_1)\cdot P(B\vert U_1)+P(U_2)\cdot P(B\vert U_2)\newline P(B)=\cfrac{1}{3}\cdot \cfrac{5}{10} + \cfrac{2}{3}\cdot\cfrac{3}{10}=\underline{\cfrac{11}{30}}=0,3666=36,67\%$