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Ecuaciones matriciales: Resolución y propiedades

Ecuaciones matriciales: Resolución y propiedades

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Docente: Aránzazu

Resumen

Ecuaciones matriciales: Resolución y propiedades

Aprender a resolver ecuaciones matriciales

Las ecuaciones matriciales son aquellas ecuaciones en las que todos los elementos son matrices y se requiere despejar una matriz XX.

PROCEDIMIENTO

1.

Pasa a un lado de la igualdad los elementos que contengan la matriz XX.​

2.

Multiplica la matriz que esté al lado de la XX por su inversa (por el mismo lado donde esté la matriz XX).

3.

Multiplica el otro miembro por esa matriz inversa en el mismo lado.

4.

Si hay varias XX, se saca factor común.

Recuerda que: Es importante el orden de los productos. 

XA+XB=X(A+B)AX+BX=(A+B)XXA+XB=X(A+B)\newline AX+BX=(A+B)X​​

5.

Sustituye el producto de la matriz por su inversa por la matriz identidad.

A1A=IAA1=IA^{-1}\cdot A=I \newline A\cdot A^{-1}=I​​

6.

La matriz identidad multiplicada por la XX equivale a XX.

IX=XXI=XI\cdot X=X \newline X\cdot I=X​​

7.

Calcula el valor de XX operando en el otro miembro de la igualdad. ​


Propiedades de multiplicación de las matrices

Para poder resolver las ecuaciones matriciales, se deben tener en cuenta las propiedades de la multiplicación de las matrices:

  • La multiplicación no admite la propiedad conmutativa ABBA\longrightarrow A\cdot B\neq B\cdot A.
  • La matriz identidad es un elemento neutro AI=IA=A\longrightarrow A\cdot I=I\cdot A=A.
  • Una matriz por su inversa es la matriz identidad AA1=A1A=I\longrightarrow A\cdot A^{-1}=A^{-1}\cdot A=I​​


Ejemplo

Resuelve la siguiente ecuación matricial:

XA+B=CAXA+B=CA​​

Se puede resolver de la siguiente forma:

XA=CABX=(CAB)A1XAA1=(CAB)A1XI=(CAB)A1X=(CAB)A1XA=CA-B \rightarrow X=(CA-B){A^{-1}}\rightarrow XA\cdot A^{-1}=(CA-B)\cdot A^{-1}\rightarrow \newline X\cdot I=(CA-B)A^{-1}\rightarrow \underline{X=(CA-B)A^{-1}}

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Ejercicios

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Preguntas frecuentes

¿Se puede sacar factor común en las ecuaciones matriciales?

¿Cuáles son las propiedades de multiplicación de las matrices?

¿Qué son las ecuaciones matriciales?

Beta

Soy Vulpy, ¡tu compañero de estudio de IA! Aprendamos juntos.