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Rango de una matriz: Definición y cómo calcularlo

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Docente: Gadea

Resumen

Rango de una matriz: Definición y cómo calcularlo

​​Definición 

El rango de la  matriz A rg(A)rg(A) es el número de filas, o columnas,  linealmente independientes que tiene esa matriz. 

Una fila es linealmente independiente cuando no se puede escribir como combinación lineal del resto de filas. 


Ejemplo 

El rango de la matriz es 1 ya que la segunda fila es combinación lineal de la primera, ya que es el doble de la primera. 


​rg(130260)=1    (F2=2⋅F1)rg \begin{pmatrix}1 & 3 & 0\\2 & 6 & 0\end{pmatrix}=1 \space \space \space \space (F_2=2\cdot F_1)


​​

Transformaciones que no varían el rango

​​
- Cambio de posición de filas o columnas.

Ejemplo
​rg(240438)=rg(244308)rg \begin{pmatrix}2 & 4& 0\\4 & 3 & 8\\\end{pmatrix}=rg \begin{pmatrix}2 & 4\\4 & 3\\0 & 8\end{pmatrix}​​

- Producto de un número λ\lambda por una matriz (λ≠0)(\lambda \ne 0 ).

Ejemplo
rg(130521)=rg 3⋅(130521)=rg(130521)=rg(3901563)rg \begin{pmatrix}1 & 3 & 0\\5 & 2& 1\\\end{pmatrix}=rg \space 3 \cdot \begin{pmatrix}1 & 3 & 0\\5 & 2& 1\\\end{pmatrix}=rg \begin{pmatrix}1 & 3 & 0\\5 & 2& 1\\\end{pmatrix}=rg \begin{pmatrix}3 & 9& 0\\15 & 6& 3\\\end{pmatrix}
​​
- La suma a una fila del producto de un número λ\lambda  a otra fila.

Ejemplo

​rg(250431311)F2=F2+3F1 ⟹ rg(25010181311)rg\begin{pmatrix}2 & 5 & 0\\4 & 3 & 1\\3 & 1 & 1\end{pmatrix}_{F_2 = F_2 + 3F_1}\implies rg\begin{pmatrix}2 & 5 & 0\\10 & 18 & 1\\3 & 1 & 1\end{pmatrix}

- Eliminar una fila linealmente dependiente de sus paralelas


Ejemplo

​rg(2504100311)=rg(250311) rg\begin{pmatrix}2 & 5 & 0\\4 & 10 & 0\\3 & 1 & 1\end{pmatrix}= rg\begin{pmatrix}2 & 5 & 0\\3 & 1 & 1\end{pmatrix}


​​

-Eliminar una fila cuyos elementos son todos nulos, es decir, 0. 


Ejemplo

​rg(250000311)=rg(250311)rg\begin{pmatrix}2 & 5 & 0\\0 & 0 & 0\\3 & 1 & 1\end{pmatrix}= rg\begin{pmatrix}2 & 5 & 0\\3 & 1 & 1\end{pmatrix}


- Calcular la traspuesta de una matriz

Ejemplo
​rg(13−14−12650)=rg(1463−15−120)rg\begin{pmatrix}1 &3 & -1\\4 &-1 & 2\\6 &5 &0\end{pmatrix}= rg\begin{pmatrix}1 & 4 & 6\\3 &-1 & 5\\-1 & 2 & 0\end{pmatrix}​​



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Preguntas frecuentes

¿Qué significa rg(A) en matrices?

¿Cambia el rango de una matriz si cambio de posición una fila?

¿Qué es el rango de una matriz?

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