Operaciones con vectores: Producto vectorial Producto vectorial El producto vectorial de dos vectores u → \overrightarrow u u y v → \overrightarrow v v es el vector u → × v → \overrightarrow u \times\overrightarrow v u × v , que tiene las siguientes características
Módulo: se obtiene a través de:∣ u → × v → ∣ = ∣ u → ∣ ∣ v → ∣ sen ( u → , v → ^ ) |\overrightarrow u\times \overrightarrow v|=|\overrightarrow u||\overrightarrow v|\operatorname{sen}(\widehat{\overrightarrow u, \overrightarrow v}) ∣ u × v ∣ = ∣ u ∣∣ v ∣ sen ( u , v )
Dirección: perpendicular a ambos vectoresu → × v → ⊥ u → u → × v → ⊥ v → \overrightarrow u \times\overrightarrow v \perp \overrightarrow u\qquad \overrightarrow u \times\overrightarrow v \perp \overrightarrow v u × v ⊥ u u × v ⊥ v
Sentido: a través de la regla del sacacorchos. ( 2 ) u → , ( 1 ) v → , ( 3 ) u × v → (2) \overrightarrow u,\ (1)\overrightarrow v,\ (3)\ \overrightarrow {u\times v} ( 2 ) u , ( 1 ) v , ( 3 ) u × v
Ejemplo Calcula el módulo del producto vectorial de los vectores u → = ( − 2 , 3 , 1 ) \overrightarrow u=(-2,3,1) u = ( − 2 , 3 , 1 ) y v → = ( 2 , 1 , 4 ) \overrightarrow v=(2,1,4) v = ( 2 , 1 , 4 ) , sabiendo que forma un ángulo de 80 º 80º 80º
∣ u → × v → ∣ = ∣ u → ∣ ∣ v → ∣ sen ( u → , v → ^ ) = 14 ⋅ 21 ⋅ sen ( 80 º ) = 16 , 88 ‾ |\overrightarrow u\times \overrightarrow v|=|\overrightarrow u||\overrightarrow v|\operatorname{sen}(\widehat{\overrightarrow u, \overrightarrow v})=\sqrt{14}\cdot \sqrt{21}\cdot \operatorname{sen}(80º)= \underline {16,88} ∣ u × v ∣ = ∣ u ∣∣ v ∣ sen ( u , v ) = 14 ⋅ 21 ⋅ sen ( 80º ) = 16 , 88
Propiedades del producto vectorial 1.
u → × v → = − ( v → × u → ) \overrightarrow u\times\overrightarrow v=-(\overrightarrow v\times \overrightarrow u) u × v = − ( v × u )
2.
λ ( u → × v → ) = ( λ u → ) × v → = u → × ( λ v → ) \lambda(\overrightarrow u\times\overrightarrow v)=(\lambda\overrightarrow u)\times \overrightarrow v=\overrightarrow u\times (\lambda\overrightarrow v) λ ( u × v ) = ( λ u ) × v = u × ( λ v )
3.
u → × ( v → + w → ) = u → × v → + u → × w → \overrightarrow u\times(\overrightarrow v+\overrightarrow w)=\overrightarrow u\times\overrightarrow v+\overrightarrow u\times\overrightarrow w u × ( v + w ) = u × v + u × w
Expresión analítica del producto vectorial en la base canónica El producto vectorial de dos vectores u → = ( u 1 , u 2 , u 3 ) \overrightarrow u=(u_1,u_2,u_3) u = ( u 1 , u 2 , u 3 ) y v → = ( v 1 , v 2 , v 3 ) \overrightarrow v=(v_1,v_2,v_3) v = ( v 1 , v 2 , v 3 ) expresados en la base canónica { i → , j → , k → } \lbrace\overrightarrow i,\overrightarrow j, \overrightarrow k\rbrace { i , j , k } es:
u → × v → = ∣ i → j → k → u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3 ∣ \overrightarrow u\times \overrightarrow v=\begin{vmatrix}\overrightarrow i&\overrightarrow j&\overrightarrow k\\u_1 &u_2 & u_3\\v_1& v_2& v_3\end{vmatrix} u × v = i u 1 v 1 j u 2 v 2 k u 3 v 3
Ejemplo Calcula el producto vectorial de los vectores u → = ( − 2 , 3 , 1 ) \overrightarrow u=(-2,3,1) u = ( − 2 , 3 , 1 ) y v → = ( 2 , 1 , 4 ) \overrightarrow v=(2,1,4) v = ( 2 , 1 , 4 )
u → × v → = ∣ i → j → k → − 2 3 1 2 1 4 ∣ = i → ∣ 3 1 1 4 ∣ − j → ∣ − 2 1 2 4 ∣ + k → ∣ − 2 3 2 1 ∣ = 11 i → + 10 j → − 8 k → u → × v → = ( 11 , 10 , − 8 ) ‾ \overrightarrow u\times \overrightarrow v=\begin{vmatrix}\overrightarrow i&\overrightarrow j&\overrightarrow k\\-2 &3 & 1\\2& 1& 4\end{vmatrix}=\overrightarrow i\begin{vmatrix}3&1\\1&4\end{vmatrix}-\overrightarrow j\begin{vmatrix}-2&1\\2&4\end{vmatrix}+\overrightarrow k\begin{vmatrix}-2&3\\2&1\end{vmatrix}=11\overrightarrow i+10\overrightarrow j-8\overrightarrow k\newline \overrightarrow u\times \overrightarrow v=\underline{(11,10,-8)} u × v = i − 2 2 j 3 1 k 1 4 = i 3 1 1 4 − j − 2 2 1 4 + k − 2 2 3 1 = 11 i + 10 j − 8 k u × v = ( 11 , 10 , − 8 )
Recuerda que: El módulo del producto vectorial de dos vectores u → \overrightarrow u u y v → \overrightarrow v v coincide con el área del paralelogramo que determinan dichos vectores