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Operaciones con vectores: Producto vectorial

Operaciones con vectores: Producto vectorial

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Docente: Antonio

Resumen

Operaciones con vectores: Producto vectorial

​​​​Producto vectorial

El producto vectorial de dos vectores u\overrightarrow u y v\overrightarrow v es el vector u×v\overrightarrow u \times\overrightarrow v, que tiene las siguientes características


  • Módulo: se obtiene a través de:

u×v=uvsen(u,v^)|\overrightarrow u\times \overrightarrow v|=|\overrightarrow u||\overrightarrow v|\operatorname{sen}(\widehat{\overrightarrow u, \overrightarrow v})

  • Dirección: perpendicular a ambos vectores

u×vuu×vv\overrightarrow u \times\overrightarrow v \perp \overrightarrow u\qquad \overrightarrow u \times\overrightarrow v \perp \overrightarrow v

  • Sentido: a través de la regla del sacacorchos. (2)u, (1)v, (3) u×v(2) \overrightarrow u,\ (1)\overrightarrow v,\ (3)\ \overrightarrow {u\times v}​​
Matemáticas; Vectores; 2. Bachillerato; Operaciones con vectores: Producto vectorial


Ejemplo

Calcula el módulo del producto vectorial de los vectores u=(2,3,1)\overrightarrow u=(-2,3,1) y v=(2,1,4)\overrightarrow v=(2,1,4), sabiendo que forma un ángulo de 80º80º


u×v=uvsen(u,v^)=1421sen(80º)=16,88|\overrightarrow u\times \overrightarrow v|=|\overrightarrow u||\overrightarrow v|\operatorname{sen}(\widehat{\overrightarrow u, \overrightarrow v})=\sqrt{14}\cdot \sqrt{21}\cdot \operatorname{sen}(80º)= \underline {16,88}


Propiedades del producto vectorial 

1.
u×v=(v×u)\overrightarrow u\times\overrightarrow v=-(\overrightarrow v\times \overrightarrow u)​​
2.
λ(u×v)=(λu)×v=u×(λv)\lambda(\overrightarrow u\times\overrightarrow v)=(\lambda\overrightarrow u)\times \overrightarrow v=\overrightarrow u\times (\lambda\overrightarrow v)​​
3.
u×(v+w)=u×v+u×w\overrightarrow u\times(\overrightarrow v+\overrightarrow w)=\overrightarrow u\times\overrightarrow v+\overrightarrow u\times\overrightarrow w​​


Expresión analítica del producto vectorial en la base canónica

El producto vectorial ​de dos vectores u=(u1,u2,u3)\overrightarrow u=(u_1,u_2,u_3) y v=(v1,v2,v3)\overrightarrow v=(v_1,v_2,v_3) expresados en la base canónica {i,j,k}\lbrace\overrightarrow i,\overrightarrow j, \overrightarrow k\rbrace es: 


u×v=ijku1u2u3v1v2v3\overrightarrow u\times \overrightarrow v=\begin{vmatrix}\overrightarrow i&\overrightarrow j&\overrightarrow k\\u_1 &u_2 & u_3\\v_1& v_2& v_3\end{vmatrix}​​


Ejemplo

Calcula el producto vectorial de los vectores u=(2,3,1)\overrightarrow u=(-2,3,1) y v=(2,1,4)\overrightarrow v=(2,1,4)


u×v=ijk231214=i3114j2124+k2321=11i+10j8ku×v=(11,10,8)\overrightarrow u\times \overrightarrow v=\begin{vmatrix}\overrightarrow i&\overrightarrow j&\overrightarrow k\\-2 &3 & 1\\2& 1& 4\end{vmatrix}=\overrightarrow i\begin{vmatrix}3&1\\1&4\end{vmatrix}-\overrightarrow j\begin{vmatrix}-2&1\\2&4\end{vmatrix}+\overrightarrow k\begin{vmatrix}-2&3\\2&1\end{vmatrix}=11\overrightarrow i+10\overrightarrow j-8\overrightarrow k\newline \overrightarrow u\times \overrightarrow v=\underline{(11,10,-8)}


Recuerda que: El módulo del producto vectorial de dos vectores u\overrightarrow u y ​v\overrightarrow v coincide con el área del paralelogramo que determinan dichos vectores ​


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Preguntas frecuentes

¿Cuál es la interpretación geométrica del producto vectorial?

¿Qué es la regla del sacacorchos?

¿En qué consiste el producto vectorial de dos vectores?

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