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Teorema de Rouché-Frobenius: Discusión de sistemas

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Teorema de Rouché-Frobenius: Discusión de sistemas

Aplicación del teorema de Rouché-Frobenius a los sistemas de ecuaciones

​​Compatibilidad de un sistema de ecuaciones

Discutir un sistema de ecuaciones consiste en determinar el tipo de sistema que es (compatible determinado, compatible indeterminado e incompatible) sin necesidad de resolverlo. Para ello, se utiliza el Teorema de Rouché-Frobenius, el cual se recoge en la siguiente tabla,


Sistema compatible determinado

rg(A)=rg(A)=nrg(A)=rg(A^{*})=n​​

Sistema compatible indeterminado 

rg(A)=rg(A)<nrg(A)=rg(A^{*})<n​​

Sistema incompatible 

rg(A)rg(A)rg(A)\neq rg(A^*)​​


Grado de indeterminación de un sistema indeterminado

Si el sistema es indeterminado y rg(A)=p<nrg(A)=p<n, hay tan sólo pp ecuaciones independientes, por lo que habrá npn-p parámetros. A este número se le conoce como grado de indeterminación.


Ejemplo

Discute el siguiente sistema

{xy+2z=13x+2y+z=52x+3yz=4\begin{cases} x-y+2z=1 \\ 3x+2y+z=5\\ 2x+3y-z=4\end{cases}


Comenzamos escribiendo la matriz de coeficientes y la matriz ampliada

A=(112321231)A=(112132152314) A=\begin{pmatrix}1&-1&2\\3&2&1\\2&3&-1\end{pmatrix}\quad\quad A^{*}=\begin{pmatrix}1&-1&2& 1\\3&2&1& 5\\2&3&-1&4\end{pmatrix}