Teorema de Rouché-Frobenius: Discusión de sistemas

Aplicación del teorema de Rouché-Frobenius a los sistemas de ecuaciones

Compatibilidad de un sistema de ecuaciones

Discutir un sistema de ecuaciones consiste en determinar el tipo de sistema que es (compatible determinado, compatible indeterminado e incompatible) sin necesidad de resolverlo. Para ello, se utiliza el Teorema de Rouché-Frobenius, el cual se recoge en la siguiente tabla,

Sistema compatible determinado	$rg(A)=rg(A^{*})=n$
Sistema compatible indeterminado	$rg(A)=rg(A^{*})<n$
Sistema incompatible	$rg(A)\neq rg(A^*)$

Grado de indeterminación de un sistema indeterminado

Si el sistema es indeterminado y $rg(A)=p<n$ , hay tan sólo $p$ ecuaciones independientes, por lo que habrá $n-p$ parámetros. A este número se le conoce como grado de indeterminación.

Ejemplo

Discute el siguiente sistema

$\begin{cases} x-y+2z=1 \\ 3x+2y+z=5\\ 2x+3y-z=4\end{cases}$

Comenzamos escribiendo la matriz de coeficientes y la matriz ampliada

$A=\begin{pmatrix}1&-1&2\\3&2&1\\2&3&-1\end{pmatrix}\quad\quad A^{*}=\begin{pmatrix}1&-1&2& 1\\3&2&1& 5\\2&3&-1&4\end{pmatrix}$ 

Analizamos el rango de la matriz de coeficientes

$\begin {vmatrix}1&-1&2\\3&2&1\\2&3&-1\end{vmatrix}=0\implies rg(A)<3 \quad\quad \begin{vmatrix}1&-1\\3&2\end{vmatrix}=5\neq0\implies rg(A)=2$

Analizamos el rango de la matriz ampliada

$\begin{vmatrix}1&-1&1\\3&2&5\\2&3&4\end{vmatrix}=0 \quad\quad\begin{vmatrix}1&2&1\\3&1&5\\2&-1&4\end{vmatrix}=0\quad\quad\begin{vmatrix}-1&2&1\\2&1&5\\3&-1&4\end{vmatrix}=0$

Como no hemos podido encontrar dentro de $A^{*}$ una submatriz $3\times3$ con determinante distinto de $0$ , esta matriz tampoco tendrá rango $3$ .

$rg(A^{*})=2$ , ya que siempre se tiene que cumplir $rg(A^{*})\geq rg(A)$ .

Por lo tanto, ya podemos concluir que:

$\rm rg(A)=rg(A^{*})<n \implies S.C.I\\n-p=3-2=1\implies El\ grado\ de\ indeterminación\ es\ 1$ .