Inicio

Matemáticas

Sistemas de ecuaciones

Teorema de Rouché-Frobenius: Discusión de sistemas

Teorema de Rouché-Frobenius: Discusión de sistemas

Seleccionar lección

Vídeo Explicativo

Loading...
Docente: Antonio

Resumen

Teorema de Rouché-Frobenius: Discusión de sistemas

Aplicación del teorema de Rouché-Frobenius a los sistemas de ecuaciones

​​Compatibilidad de un sistema de ecuaciones

Discutir un sistema de ecuaciones consiste en determinar el tipo de sistema que es (compatible determinado, compatible indeterminado e incompatible) sin necesidad de resolverlo. Para ello, se utiliza el Teorema de Rouché-Frobenius, el cual se recoge en la siguiente tabla,


Sistema compatible determinado

rg(A)=rg(A)=nrg(A)=rg(A^{*})=n​​

Sistema compatible indeterminado 

rg(A)=rg(A)<nrg(A)=rg(A^{*})<n​​

Sistema incompatible 

rg(A)rg(A)rg(A)\neq rg(A^*)​​


Grado de indeterminación de un sistema indeterminado

Si el sistema es indeterminado y rg(A)=p<nrg(A)=p<n, hay tan sólo pp ecuaciones independientes, por lo que habrá npn-p parámetros. A este número se le conoce como grado de indeterminación.


Ejemplo

Discute el siguiente sistema

{xy+2z=13x+2y+z=52x+3yz=4\begin{cases} x-y+2z=1 \\ 3x+2y+z=5\\ 2x+3y-z=4\end{cases}


Comenzamos escribiendo la matriz de coeficientes y la matriz ampliada

A=(112321231)A=(112132152314) A=\begin{pmatrix}1&-1&2\\3&2&1\\2&3&-1\end{pmatrix}\quad\quad A^{*}=\begin{pmatrix}1&-1&2& 1\\3&2&1& 5\\2&3&-1&4\end{pmatrix}​​


Analizamos  el rango de la matriz de coeficientes

112321231=0 rg(A)<31132=50 rg(A)=2\begin {vmatrix}1&-1&2\\3&2&1\\2&3&-1\end{vmatrix}=0\implies rg(A)<3 \quad\quad \begin{vmatrix}1&-1\\3&2\end{vmatrix}=5\neq0\implies rg(A)=2


Analizamos el rango de la matriz ampliada

111325234=0121315214=0121215314=0\begin{vmatrix}1&-1&1\\3&2&5\\2&3&4\end{vmatrix}=0 \quad\quad\begin{vmatrix}1&2&1\\3&1&5\\2&-1&4\end{vmatrix}=0\quad\quad\begin{vmatrix}-1&2&1\\2&1&5\\3&-1&4\end{vmatrix}=0


Como no hemos podido encontrar dentro de AA^{*} una submatriz 3×33\times3 con determinante distinto de 00, esta matriz tampoco tendrá rango 33.

 rg(A)=2rg(A^{*})=2ya que siempre se tiene que cumplir rg(A)rg(A)rg(A^{*})\geq rg(A).


Por lo tanto, ya podemos concluir que:

rg(A)=rg(A)<n S.C.Inp=32=1 El grado de indeterminacioˊn es 1\rm rg(A)=rg(A^{*})<n \implies S.C.I\\n-p=3-2=1\implies El\ grado\ de\ indeterminación\ es\ 1.


Crear una cuenta para leer el resumen

Ejercicios

Crear una cuenta para empezar los ejercicios

Preguntas frecuentes

¿Qué tipos de sistemas existen según el teorema de Rouché Fobenius?

¿Cómo se puede saber el número de soluciones de un sistema de ecuaciones sin resolverlo?

Beta

Soy Vulpy, ¡tu compañero de estudio de IA! Aprendamos juntos.