Teorema de Rouché-Frobenius: Discusión de sistemas
Aplicación del teorema de Rouché-Frobenius a los sistemas de ecuaciones
Compatibilidad de un sistema de ecuaciones
Discutir un sistema de ecuaciones consiste en determinar el tipo de sistema que es (compatible determinado, compatible indeterminado e incompatible) sin necesidad de resolverlo. Para ello, se utiliza el Teorema de Rouché-Frobenius, el cual se recoge en la siguiente tabla,
Sistema compatible determinado
rg(A)=rg(A∗)=n
Sistema compatible indeterminado
rg(A)=rg(A∗)<n
Sistema incompatible
rg(A)=rg(A∗)
Grado de indeterminación de un sistema indeterminado
Si el sistema es indeterminado y rg(A)=p<n, hay tan sólo p ecuaciones independientes, por lo que habrá n−p parámetros. A este número se le conoce como grado de indeterminación.
Ejemplo
Discute el siguiente sistema
⎩⎨⎧x−y+2z=13x+2y+z=52x+3y−z=4
Comenzamos escribiendo la matriz de coeficientes y la matriz ampliada