Funciones racionales: Análisis y representación

Propiedades de las funciones racionales

Definición

Una función es racional si se puede expresar como el cociente de dos funciones.

​$$f(x)=\cfrac{P(x)}{Q(x)}$$​​

Dominio y continuidad

El dominio de la función es todo $$\R$$ salvo los valores de $$x$$​ que anulen $$Q(x)$$​.

​​Ejemplo

Averigua el dominio de $$f(x)=\cfrac{x^2+2x-6}{x-3}$$

El dominio es $$\underline{\R-\lbrace3\rbrace}$$, porque cuando $${x=3}$$ el denominador es nulo.

Asíntotas

Pueden tener asíntotas de los tres tipos.

Ejemplo

Averigua las asíntotas de $$f(x)=\cfrac{2x+3}{x-2}$$

​

Como $$\lim\limits_{x\to\pm\infty}f(x)=2$$ entonces la recta $$\underline{y=2}$$ es una asíntota horizontal.

El dominio es $$\R-\lbrace2\rbrace$$. Si calculas $$\lim\limits_{x\to2}f(x)=\pm\infty$$​ por lo tanto hay una asíntota vertical en el eje $$\underline{x=2}$$​.

​​Ejemplo

Averigua las asíntotas de $$f(x)=\cfrac{x^2}{2x}$$​

Como $$\lim\limits_{x\to\pm\infty}f(x)=\pm\infty$$ no hay asíntotas horizontales.

Cuando $$\lim\limits_{x\to0}f(x)=\pm\infty$$​ por lo tanto hay una asíntota vertical en el eje $$\underline{x=0}$$.

El grado del númerador es uno superior al denominador, así que tiene una asíntota oblicua.

El cociente de las funciones es $$\cfrac{x^2}{2x}=0,5x$$, por lo tanto la recta $$\underline{y=0,5x}$$​ es la asíntota oblicua de $${f(x)}$$.