Inicio

Matemáticas

Derivadas

Continuidad y derivabilidad de una función

Continuidad y derivabilidad de una función

Seleccionar lección

Vídeo Explicativo

Loading...
Docente: Antonio

Resumen

Continuidad y derivabilidad de una función

Continuidad 

Si existe f´(a)f´(a), entonces ff es continua en aa. Sin embargo, si ff es continua en aano tiene por qué existir f´(a)f´(a).


Derivabilidad 

Se definen las derivadas laterales por la izquierda y por la derecha, respectivamente, de una función ff en el punto x=ax=a, como los límites:

f´(a)=limh0f(a+h)f(a)hf´(a+)=limh0+f(a+h)f(a)hf´(a^{-})= \lim\limits_{h \to 0^{-}} \cfrac{f(a+h)-f(a)}{h}\quad\qquad f´(a^{+})= \lim\limits_{h \to 0^{+}} \cfrac{f(a+h)-f(a)}{h}​​


Si las derivadas laterales coinciden, entonces f\bold{f} es derivable en a\bold{a}

Si las derivadas laterales no coinciden, entonces f\bold{f } no es derivable en a\bold{a}.


Ejemplo

Analizar continuidad y derivabilidad de la función f(x)=x{\it f(x)=|x|} en el punto x=0{\it x=0}


Reescribimos la función valor absoluto como una función a trozos

f(x)={ xsi x0xsi x<0{\rm f(x)=}\begin{cases}{\it \thinspace\thinspace \thinspace x \quad\quad \rm si\ x\geq 0}\\{-x \quad\quad \rm si\ x<0}\end{cases}​​

Analizamos la continuidad en x=0{\it x=0} 

f(0)=0limx0+f(x)=0limx0f(x)=0{ f(0)=0\qquad \lim\limits_{x \to 0^{+}}f(x)=0 \qquad \lim\limits_{x \to 0^{-}}f(x)=0}​​


Como el valor de la función y los límites laterales en x=0x=0 coinciden, la función es continua en ese punto.


Analizamos la derivabilidad en x=0{ x=0} 

f´(0)=limh0f(0+h)f(0)h=hh=1f´(0+)=limh0+f(0+h)f(0)h=hh=1{\it f´(0^{-})= \lim\limits_{h \to 0^{-}} \cfrac{f(0+h)-f(0)}{h}=\cfrac{-h}{h}=-1\quad\qquad f´(0^{+})= \lim\limits_{h \to 0^{+}} \cfrac{f(0+h)-f(0)}{h}=\cfrac{h}{h}=1}​​


Como las derivadas laterales en x=0{\it x=0}​ no son iguales, la función no es derivable en ese punto.

Matemáticas; Derivadas; 1. Bachillerato; Continuidad y derivabilidad de una función


Función derivada

La función que a cada número xx del dominio de ff le asigna el número f´(x)f´(x) si existe, se llama función derivada de ff derivada de ffSe suele representar por f´.


Ejemplo 

Calcula la función derivada de f(x)=5x2+1{f(x)=5x^2+1} aplicando la definición 


f´´(x)=limh0f(x+h)f(x)h=limh05(x+h)2+15x21h=limh05(x2+2xh+h2)5x2h={f´´(x)=\lim\limits_{h \to 0}\cfrac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim\limits_{h \to 0}\cfrac{5(x+h)^2+1-5x^2-1}{h}=\lim\limits_{h \to 0}\cfrac{5(x^2+2xh+h^2)-5x^2}{h}=}


limh05x2+10xh+5h25x2h=limh010xh+5h2h=limh0h(10x+5h)h=limh010x+5h=10x\lim\limits_{h \to 0}\cfrac{5x^2+10xh+5h^2-5x^2}{h}=\lim\limits_{h \to 0}\cfrac{10xh+5h^2}{h}=\lim\limits_{h \to 0}\cfrac{h(10x+5h)}{h}=\lim\limits_{h \to 0}10x+5h=\underline{10x}​​​

Crear una cuenta para leer el resumen

Ejercicios

Crear una cuenta para empezar los ejercicios

Preguntas frecuentes

¿Qué relaciones existen entre la derivabilidad y la continuidad de una función?

¿Cuándo una función es derivable?

Beta

Soy Vulpy, ¡tu compañero de estudio de IA! Aprendamos juntos.