Continuidad y derivabilidad de una función

Continuidad 

Si existe $$f´(a)$$, entonces $$f$$ es continua en $$a$$. Sin embargo, si $$f$$ es continua en $$a$$, no tiene por qué existir $$f´(a)$$.

Derivabilidad 

Se definen las derivadas laterales por la izquierda y por la derecha, respectivamente, de una función $$f$$ en el punto $$x=a$$, como los límites:

​$$f´(a^{-})= \lim\limits_{h \to 0^{-}} \cfrac{f(a+h)-f(a)}{h}\quad\qquad f´(a^{+})= \lim\limits_{h \to 0^{+}} \cfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$$​​

Si las derivadas laterales coinciden, entonces $$\bold{f}$$ es derivable en $$\bold{a}$$

Si las derivadas laterales no coinciden, entonces $$\bold{f }$$ no es derivable en $$\bold{a}$$.

Ejemplo

Analizar continuidad y derivabilidad de la función $${\it f(x)=|x|}$$ en el punto $${\it x=0}$$

Reescribimos la función valor absoluto como una función a trozos

$${\rm f(x)=}\begin{cases}{\it \thinspace\thinspace \thinspace x \quad\quad \rm si\ x\geq 0}\\{-x \quad\quad \rm si\ x<0}\end{cases}$$​​

Analizamos la continuidad en $${\it x=0}$$ 

​$${ f(0)=0\qquad \lim\limits_{x \to 0^{+}}f(x)=0 \qquad \lim\limits_{x \to 0^{-}}f(x)=0}$$​​

Como el valor de la función y los límites laterales en $$x=0$$ coinciden, la función es continua en ese punto.

Analizamos la derivabilidad en $${ x=0}$$ 

$${\it f´(0^{-})= \lim\limits_{h \to 0^{-}} \cfrac{f(0+h)-f(0)}{h}=\cfrac{-h}{h}=-1\quad\qquad f´(0^{+})= \lim\limits_{h \to 0^{+}} \cfrac{f(0+h)-f(0)}{h}=\cfrac{h}{h}=1}$$​​

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Como las derivadas laterales en $${\it x=0}$$​ no son iguales, la función no es derivable en ese punto.

Función derivada

La función que a cada número $$x$$ del dominio de $$f$$ le asigna el número $$f´(x)$$ si existe, se llama función derivada de $$f$$ o derivada de $$f$$. Se suele representar por $$f´$$.

Ejemplo 

Calcula la función derivada de $${f(x)=5x^2+1}$$ aplicando la definición 

​$${f´´(x)=\lim\limits_{h \to 0}\cfrac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim\limits_{h \to 0}\cfrac{5(x+h)^2+1-5x^2-1}{h}=\lim\limits_{h \to 0}\cfrac{5(x^2+2xh+h^2)-5x^2}{h}=}$$

$$\lim\limits_{h \to 0}\cfrac{5x^2+10xh+5h^2-5x^2}{h}=\lim\limits_{h \to 0}\cfrac{10xh+5h^2}{h}=\lim\limits_{h \to 0}\cfrac{h(10x+5h)}{h}=\lim\limits_{h \to 0}10x+5h=\underline{10x}$$​​​

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