Propiedades de los determinantes

Características de los determinantes

Los determinantes tienen algunas características como:

Un determinante es un número.
Se escriben entre barras para diferenciarlos de las matrices.
Las matrices no cuadradas no tienen determinantes.

Propiedades de los determinantes

Las propiedades de los determinantes se aplican a matrices cuadradas de cualquier orden y facilitan el cálculo de los determinantes.

Propiedades generales

Estas son algunas de las propiedades generales de los determinantes:

El determinante de una matriz $A$ y el de su traspuesta $A^t$ son iguales.

$|A^t|=|A|$

El determinante de un producto es igual al producto de los determinantes.

$|A\cdot B|=|A|\cdot |B|$

Un determinante triangular es igual al producto de los elementos de la diagonal principal.

$\begin{vmatrix}a_{11} & 0 & 0\\a_{21} & a_{22} & 0\\a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{vmatrix} = a_{11} \cdot a_{22} \cdot a_{33}$

Si en un determinante se cambian entre sí dos filas, su determinante cambia de signo.

$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{21} & a_{22} & a_{23}\\a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{vmatrix} = -\begin{vmatrix}a_{11} & a_{13} & a_{12}\\a_{21} & a_{23} & a_{22}\\a_{31} & a_{33} & a_{32}\end{vmatrix}$

Si se multiplica una fila de un determinante por un número real, el valor del determinante queda multiplicado por dicho número.

$\begin{vmatrix}a_{11} & 2\cdot a_{12} & a_{13}\\a_{21} & 2\cdot a_{22} & a_{23}\\a_{31} & 2\cdot a_{32} & a_{33}\end{vmatrix} = 2\cdot \begin{vmatrix}a_{11} & a_{13} & a_{12}\\a_{21} & a_{23} & a_{22}\\a_{31} & a_{33} & a_{32}\end{vmatrix}$

Si todos los elementos de una fila están formados por dos sumandos, dicho determinante se descompone en la suma dos determinantes.

$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{21} + x & a_{22} +y & a_{23}+z\\a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}a_{11} & a_{13} & a_{12}\\a_{21} & a_{23} & a_{22}\\a_{31} & a_{33} & a_{32}\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}a_{11} & a_{13} & a_{12}\\x & y& z\\a_{31} & a_{33} & a_{32}\end{vmatrix}$

Propiedades que hacen cero el determinante

Estas son algunas de las propiedades que hacen cero el determinante de una matriz:

Una fila o columna de ceros.
Dos filas o columnas iguales.
Dos filas o columnas proporcionales.
Una fila o columna combinación lineal de las restantes.