Propiedades de los determinantes

Características de los determinantes 

Los determinantes tienen algunas características como: 

• ​Un determinante es un número.
  
• Se escriben entre barras para diferenciarlos de las matrices.
• Las matrices no cuadradas no tienen determinantes.

Propiedades de los determinantes

Las propiedades de los determinantes se aplican a matrices cuadradas de cualquier orden y facilitan el cálculo de los determinantes. 

Propiedades generales

Estas son algunas de las propiedades generales de los determinantes:

• El determinante de una matriz $A$​ y el de su traspuesta $A^t$​ son iguales.​
  

​$|A^t|=|A|$

• El determinante de un producto es igual al producto de los determinantes.
  

​$|A\cdot B|=|A|\cdot |B|$​​

• ​Un determinante triangular es igual al producto de los elementos de la diagonal principal. 

​$\begin{vmatrix}a_{11} & 0 & 0\\a_{21} & a_{22} & 0\\a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{vmatrix} = a_{11} \cdot a_{22} \cdot a_{33}$

• Si en un determinante se cambian entre sí dos filas, su determinante cambia de signo.

​$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{21} & a_{22} & a_{23}\\a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{vmatrix} = -\begin{vmatrix}a_{11} & a_{13} & a_{12}\\a_{21} & a_{23} & a_{22}\\a_{31} & a_{33} & a_{32}\end{vmatrix}$​​

​

• Si se multiplica una fila de un determinante por un número real, el valor del determinante queda multiplicado por dicho número.

​$\begin{vmatrix}a_{11} & 2\cdot a_{12} & a_{13}\\a_{21} & 2\cdot a_{22} & a_{23}\\a_{31} & 2\cdot a_{32} & a_{33}\end{vmatrix} = 2\cdot \begin{vmatrix}a_{11} & a_{13} & a_{12}\\a_{21} & a_{23} & a_{22}\\a_{31} & a_{33} & a_{32}\end{vmatrix}$​​

• Si todos los elementos de una fila están formados por dos sumandos, dicho determinante se descompone en la suma dos determinantes.

​$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{21} + x & a_{22} +y & a_{23}+z\\a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}a_{11} & a_{13} & a_{12}\\a_{21} & a_{23} & a_{22}\\a_{31} & a_{33} & a_{32}\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}a_{11} & a_{13} & a_{12}\\x & y& z\\a_{31} & a_{33} & a_{32}\end{vmatrix}$

Propiedades que hacen cero el determinante

Estas son algunas de las propiedades que hacen cero el determinante de una matriz: 

• Una fila o columna de ceros.
• Dos filas o columnas iguales.
• Dos filas o columnas proporcionales. 
• Una fila o columna combinación lineal de las restantes.