Continuidad de una función: Teorema de Bolzano

Teorema de Bolzano

Definición

El teorema de Bolzano establece que si $f$ es una función real y continua en un intervalo cerrado $[a,b]$ y, además, el signo de la función es distinto en los extremos del intervalo ( $\rm signo \, f(a)\neq$ $\rm signo \,f(b)$ ) entonces existe al menos un valor $c$ en el intervalo para el cual la función es cero, es decir, $c$ $\in$ $(a,b)$ tal que $f(c)=0$ .

Matemáticas; Funciones; 2. Bachillerato; Continuidad de una función: Teorema de Bolzano

Comprobación del teorema de Bolzano

El teorema de Bolzano se utiliza para encontrar raíces o ceros en una función continua y real.

PROCEDIMIENTO

1.	Sustituye los extremos, $a$ y $b$ , del intervalo en la función dada.
2.	Compara los signos de la función $f(a)$ y $f(b)$ obtenidos.
3.	Comprueba que se cumplan todas las condiciones del teorema de Bolzano.

Ejemplo

Demuestra si la función $f(x)=x^2-2$ tiene al menos una raíz real en el intervalo $[1,2]$ .

En primer lugar, sustituye los valores de los extremos del intervalo en la función:

$f(1)=1^2-2=-1$

$f(2)=2^2-2=2$

A continuación, compara si las funciones en estos puntos son de signo contrario:

$f(1)<0$

$f(2)>0$

Comprueba que las condiciones del teorema de Bolzano se cumplen:

¿Es continua la función $f(x)=x^2-2$ ? Sí, dado que es polinómica.
¿Los extremos del intervalo presentan diferente signo? Sí, puesto que $f(1) \cdot f(2) <0$

De modo que, la función es continua en el intervalo $[1,2]$ y existe al menos un valor $\underline {c \in (1,2)}$ , tal que $\underline {f(c)=0}.$