Continuidad de una función: Teorema de Bolzano
Teorema de Bolzano
Definición
El teorema de Bolzano establece que si f es una función real y continua en un intervalo cerrado [a,b] y, además, el signo de la función es distinto en los extremos del intervalo (signof(a)= signof(b)) entonces existe al menos un valor c en el intervalo para el cual la función es cero, es decir, c ∈ (a,b) tal que f(c)=0.
Comprobación del teorema de Bolzano
El teorema de Bolzano se utiliza para encontrar raíces o ceros en una función continua y real.
PROCEDIMIENTO
1.
| Sustituye los extremos, a y b, del intervalo en la función dada. |
2. | Compara los signos de la función f(a) y f(b) obtenidos. |
3. | Comprueba que se cumplan todas las condiciones del teorema de Bolzano. |
Ejemplo
Demuestra si la función f(x)=x2−2 tiene al menos una raíz real en el intervalo [1,2].
En primer lugar, sustituye los valores de los extremos del intervalo en la función:
f(1)=12−2=−1
f(2)=22−2=2
A continuación, compara si las funciones en estos puntos son de signo contrario:
f(1)<0
f(2)>0
Comprueba que las condiciones del teorema de Bolzano se cumplen:
- ¿Es continua la función f(x)=x2−2? Sí, dado que es polinómica.
- ¿Los extremos del intervalo presentan diferente signo? Sí, puesto que f(1)⋅f(2)<0
De modo que, la función es continua en el intervalo [1,2] y existe al menos un valor c∈(1,2), tal que f(c)=0.