¿Qué dice el Teorema de Bolzano?

Si una función es continua en un intervalo [a,b] y toma valores de signo distinto en estos extremos, entonces existe un punto c perteneciente al intervalo (a,b) donde se anula la función.

¿Cómo deben ser los signos de la función en los extremos del intervalo de acuerdo al teorema de Bolzano?

El signo de la función deben de ser distintos en los extremos del intervalo para que exista al menos valor "c" perteneciente al intervalo (a,b), tal que f(c)=0.

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Matemáticas

Continuidad de una función: Teorema de Bolzano

Q: ¿Para qué se utiliza el teorema de Bolzano?

Para encontrar raíces o ceros en una función continua y real.

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Continuidad de una función: Teorema de Bolzano

Teorema de Bolzano

Definición

El teorema de Bolzano establece que si $f$ es una función real y continua en un intervalo cerrado $[a,b]$ y, además, el signo de la función es distinto en los extremos del intervalo ( $\rm signo \, f(a)\neq$ $\rm signo \,f(b)$ ) entonces existe al menos un valor $c$ en el intervalo para el cual la función es cero, es decir, $c$ $\in$ $(a,b)$ tal que $f(c)=0$ .

Matemáticas; Funciones; 2. Bachillerato; Continuidad de una función: Teorema de Bolzano

Comprobación del teorema de Bolzano

El teorema de Bolzano se utiliza para encontrar raíces o ceros en una función continua y real.

PROCEDIMIENTO

1.	Sustituye los extremos, $a$ y $b$ , del intervalo en la función dada.
2.	Compara los signos de la función $f(a)$ y $f(b)$ obtenidos.
3.	Comprueba que se cumplan todas las condiciones del teorema de Bolzano.

Ejemplo

Demuestra si la función $f(x)=x^2-2$ tiene al menos una raíz real en el intervalo $[1,2]$ .

En primer lugar, sustituye los valores de los extremos del intervalo en la función:

$f(1)=1^2-2=-1$

$f(2)=2^2-2=2$

A continuación, compara si las funciones en estos puntos son de signo contrario:

$f(1)<0$

$f(2)>0$

Comprueba que las condiciones del teorema de Bolzano se cumplen:

¿Es continua la función $f(x)=x^2-2$ ? Sí, dado que es polinómica.
¿Los extremos del intervalo presentan diferente signo? Sí, puesto que $f(1) \cdot f(2) <0$

De modo que, la función es continua en el intervalo $[1,2]$ y existe al menos un valor $\underline {c \in (1,2)}$ , tal que $\underline {f(c)=0}.$

Continuidad de una función: Teorema de Bolzano

Teorema de Bolzano

Definición

Comprobación del teorema de Bolzano

El teorema de Bolzano se utiliza para encontrar raíces o ceros en una función continua y real.

PROCEDIMIENTO

1.	Sustituye los extremos, $a$ y $b$ , del intervalo en la función dada.
2.	Compara los signos de la función $f(a)$ y $f(b)$ obtenidos.
3.	Comprueba que se cumplan todas las condiciones del teorema de Bolzano.

Ejemplo

Demuestra si la función $f(x)=x^2-2$ tiene al menos una raíz real en el intervalo $[1,2]$ .

En primer lugar, sustituye los valores de los extremos del intervalo en la función:

$f(1)=1^2-2=-1$

$f(2)=2^2-2=2$

A continuación, compara si las funciones en estos puntos son de signo contrario:

$f(1)<0$

$f(2)>0$

Comprueba que las condiciones del teorema de Bolzano se cumplen:

¿Es continua la función $f(x)=x^2-2$ ? Sí, dado que es polinómica.
¿Los extremos del intervalo presentan diferente signo? Sí, puesto que $f(1) \cdot f(2) <0$

De modo que, la función es continua en el intervalo $[1,2]$ y existe al menos un valor $\underline {c \in (1,2)}$ , tal que $\underline {f(c)=0}.$

¿Atascado con la lección? Echa un vistazo a:

Continuidad y discontinuidad de funciones

Sobre la lección

Monotonía y puntos extremos de una función

Sobre la lección

Intervalos y entornos de números reales

Sobre la lección

Límites de funciones y tipos de continuidad

Sobre la lección

Preguntas frecuentes (FAQ)

FAQs

Pregunta: ¿Qué dice el Teorema de Bolzano?

Respuesta: Si una función es continua en un intervalo [a,b] y toma valores de signo distinto en estos extremos, entonces existe un punto c perteneciente al intervalo (a,b) donde se anula la función.
Pregunta: ¿Para qué se utiliza el teorema de Bolzano?

Respuesta: Para encontrar raíces o ceros en una función continua y real.
Pregunta: ¿Cómo deben ser los signos de la función en los extremos del intervalo de acuerdo al teorema de Bolzano?

Respuesta: El signo de la función deben de ser distintos en los extremos del intervalo para que exista al menos valor "c" perteneciente al intervalo (a,b), tal que f(c)=0.

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Continuidad de una función: Teorema de Bolzano

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Teorema de Bolzano

Definición

Comprobación del teorema de Bolzano

PROCEDIMIENTO

Ejemplo

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PROCEDIMIENTO

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