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Continuidad de una función: Teorema de Bolzano

Continuidad de una función: Teorema de Bolzano

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Docente: Eva

Resumen

Continuidad de una función: Teorema de Bolzano

Teorema de Bolzano

Definición

El teorema de Bolzano establece que si ff es una función real y continua en un intervalo cerrado [a,b][a,b] y, además, el signo de la función es distinto en los extremos del intervalo (signo f(a)\rm signo \, f(a)\neq  signo f(b)\rm signo \,f(b)) entonces existe al menos un valor cc en el intervalo para el cual la función es cero, es decir, cc \in (a,b)(a,b) tal que f(c)=0f(c)=0.

Matemáticas; Funciones; 2. Bachillerato; Continuidad de una función: Teorema de Bolzano

Comprobación del teorema de Bolzano

El teorema de Bolzano se utiliza para encontrar raíces o ceros en una función continua y real. 


PROCEDIMIENTO

1.
Sustituye los extremos, aa y bb, del intervalo en la función dada.
2.
Compara los signos de la función f(a)f(a)f(b)f(b)​ obtenidos.
3.
Comprueba que se cumplan todas las condiciones del teorema de Bolzano.


Ejemplo

Demuestra si la función  f(x)=x22f(x)=x^2-2 tiene al menos una raíz real en el intervalo [1,2][1,2].


En primer lugar, sustituye los valores de los extremos del intervalo en la función:

f(1)=122=1f(1)=1^2-2=-1

f(2)=222=2f(2)=2^2-2=2


A continuación, compara si las funciones en estos puntos son de signo contrario:

f(1)<0f(1)<0​ 

f(2)>0f(2)>0​​​


Comprueba que las condiciones del teorema de Bolzano se cumplen:

  • ¿Es continua la función f(x)=x22f(x)=x^2-2? Sí, dado que es polinómica.
  • ¿Los extremos del intervalo presentan diferente signo? Sí, puesto que f(1)f(2)<0f(1) \cdot f(2) <0​​

De modo que, la función es continua en el intervalo [1,2][1,2] y existe al menos un valor  c(1,2)\underline {c \in (1,2)}, tal que f(c)=0.\underline {f(c)=0}.

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Ejercicios

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Preguntas frecuentes

¿Qué dice el Teorema de Bolzano?

¿Para qué se utiliza el teorema de Bolzano?

¿Cómo deben ser los signos de la función en los extremos del intervalo de acuerdo al teorema de Bolzano?

Beta

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