Integrales no elementales: Teorema de Liouvillle

Teorema de Liouville

Si tenemos una integral $\displaystyle\int f(x)e^{g(x)}dx$ , donde $f$ y $g$ son cocientes de polinomios y además $g$ es no constante, decimos que $f(x)$ es una función elemental, entonces:

$\displaystyle\int f(x)e^{g(x)}dx=R(x)e^{g(x)}+C$

Donde la función $R(x)$ también es un cociente de polinomios

Identificación de integrales no elementales

Gracias al Teorema de Liouville, podemos afirmar que los siguientes tipos de integral son no elementales:

1.	$\displaystyle\int\cfrac{e^{ax}}{x^n}dx, \ a\neq0, n\in \N$
2.	$\displaystyle\int x^{2n}e^{ax^2}dx, \ a\neq0, n\in\N$

Ejemplo

Demuestra que $\displaystyle\int\cfrac{dx}{\ln x}$ es una integral no elemental.

Si se introduce el cambio de variable:

$\ln x=t^2, \qquad dx=x\cdot2t\cdot dt=e^{t^2}2tdt$

Se obtiene que a integral resultante es:

$\displaystyle\int\cfrac{1}{t^2}\ 2te^{t^2}dt=2\displaystyle\int\cfrac{1}{t}\ e^{t^2}dt=2\displaystyle\int t^{-1}e^{t^2}dt$

Ahora bien , si se observa el apartado 2 de la tabla de identificación de integrales no elementales y hacemos $n=\cfrac{-1}{2}$ y $a=1$ , se obtiene que:

$\displaystyle\int x^{-1}e^{x^2}dx=\displaystyle\int t^{-1}e^{t^2}dt$

Son la misma integral, por lo que podemos concluir que la integral es no elemental.