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Integrales no elementales: Teorema de Liouvillle

Integrales no elementales: Teorema de Liouvillle

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Docente: Antonio

Resumen

Integrales no elementales: Teorema de Liouvillle

​​Teorema de Liouville 

Si tenemos una integral f(x)eg(x)dx\displaystyle\int f(x)e^{g(x)}dx, dondeff  y gg son cocientes de polinomios y además gg es no constante, decimos que f(x)f(x) es una función elemental, entonces:


 f(x)eg(x)dx=R(x)eg(x)+C\displaystyle\int f(x)e^{g(x)}dx=R(x)e^{g(x)}+C


Donde la función R(x)R(x) también es un cociente de polinomios 


Identificación de integrales no elementales

Gracias al Teorema de Liouville, podemos afirmar que los siguientes tipos de integral son no elementales:


1.
eaxxndx, a0,nN\displaystyle\int\cfrac{e^{ax}}{x^n}dx, \ a\neq0, n\in \N​​
2.
x2neax2dx, a0,nN\displaystyle\int x^{2n}e^{ax^2}dx, \ a\neq0, n\in\N​​


Ejemplo

Demuestra que dxlnx\displaystyle\int\cfrac{dx}{\ln x} es una integral no elemental.


Si se introduce el cambio de variable:


lnx=t2,dx=x2tdt=et22tdt\ln x=t^2, \qquad dx=x\cdot2t\cdot dt=e^{t^2}2tdt


Se obtiene que a integral resultante es:


1t2 2tet2dt=21t et2dt=2t1et2dt\displaystyle\int\cfrac{1}{t^2}\ 2te^{t^2}dt=2\displaystyle\int\cfrac{1}{t}\ e^{t^2}dt=2\displaystyle\int t^{-1}e^{t^2}dt


Ahora bien , si se observa el apartado 2 de la tabla de identificación de integrales no elementales y hacemos n=12n=\cfrac{-1}{2} y a=1a=1, se obtiene que:


x1ex2dx=t1et2dt\displaystyle\int x^{-1}e^{x^2}dx=\displaystyle\int t^{-1}e^{t^2}dt


Son la misma integral, por lo que podemos concluir que la integral es no elemental.


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Preguntas frecuentes

¿Para qué sirve el Teorema de Liouville?

¿Qué es una integral no elemental?

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