Integrales no elementales: Teorema de Liouvillle
Teorema de Liouville
Si tenemos una integral ∫f(x)eg(x)dx, dondef y g son cocientes de polinomios y además g es no constante, decimos que f(x) es una función elemental, entonces:
∫f(x)eg(x)dx=R(x)eg(x)+C
Donde la función R(x) también es un cociente de polinomios
Identificación de integrales no elementales
Gracias al Teorema de Liouville, podemos afirmar que los siguientes tipos de integral son no elementales:
1.
| ∫xneaxdx, a=0,n∈N |
2. | ∫x2neax2dx, a=0,n∈N |
Ejemplo
Demuestra que ∫lnxdx es una integral no elemental.
Si se introduce el cambio de variable:
lnx=t2,dx=x⋅2t⋅dt=et22tdt
Se obtiene que a integral resultante es:
∫t21 2tet2dt=2∫t1 et2dt=2∫t−1et2dt
Ahora bien , si se observa el apartado 2 de la tabla de identificación de integrales no elementales y hacemos n=2−1 y a=1, se obtiene que:
∫x−1ex2dx=∫t−1et2dt
Son la misma integral, por lo que podemos concluir que la integral es no elemental.