Integración por partes del producto de funciones

Para calcular la integral del producto de dos funciones, se debe integrar por partes. Si una de las funciones es derivada de la otra, entonces:

$\displaystyle \int f(x)g'(x) dx = f(x)g(x) - \int g(x) f'(x) dx$

Otra manera más rápida y fácil de recordar es:

$\bold{\displaystyle\int u \space d\text{v} = u \text v - \int \text v \space du}$

¡Truco!: Puedes recordar esta fórmula con la siguiente regla mnemotécnica: "Un día vi un valiente soldadito vestido de uniforme"

PROCEDIMIENTO

1.	Elige $u$ y $\text v$ . $u:$ parte de la función que se puede derivar rápidamente y cuya derivada es muy simple $\text v :$ parte de la función a partir de la cual puedes calcular fácilmente la primitiva
2.	Calcula $v$ y $du$
3.	Calcula $u \text v$
4.	Completa el resto de la fórmula y reduce

Ejemplo

Calcula $\int x \arctg x \space dx$

Elige $du$ y $\text v$ y calcula $u$ y $d\text v$

$u = \arctg x \rightarrow du = \cfrac { 1}{1 +x^2}$

$\\d\text v = x \rightarrow \text v = \cfrac {x^2}{2}$

Sigue el resto de la fórmula y opera

$\displaystyle \int x \arctg x \space dx = \arctg (x) \cdot \cfrac {x^2}{2} - \cfrac {1}{2}\int x^2 \cfrac {1}{1+x^2}dx = \cfrac {x^2}{2} \arctg x - \cfrac {1}{2} \int 1 - \cfrac {1}{1+x^2} = \underline {\cfrac {x^2}{2} \arctg x - \cfrac {1}{2} [x- \arctg x ] + C}$

Recuerda que: Se suele tomar la constante de integración como $C=0$