Integración por partes del producto de funciones 

Para calcular la integral del producto de dos funciones, se debe integrar por partes. Si una de las funciones es derivada de la otra, entonces: 

​$$\displaystyle \int f(x)g'(x) dx = f(x)g(x) - \int g(x) f'(x) dx$$

Otra manera más rápida y fácil de recordar es:

$$\bold{\displaystyle\int u \space d\text{v} = u \text v - \int \text v \space du}$$

¡Truco!: Puedes recordar esta fórmula con la siguiente regla mnemotécnica: "Un día vi un valiente soldadito vestido de uniforme"

PROCEDIMIENTO

Ejemplo 

Calcula $$\int x \arctg x \space dx$$

Elige $$du$$ y $$\text v$$ y calcula $$u$$ y $$d\text v$$

$$u = \arctg x \rightarrow du = \cfrac { 1}{1 +x^2}$$

​$$\\d\text v = x \rightarrow \text v = \cfrac {x^2}{2}$$

Sigue el resto de la fórmula y opera

$$\displaystyle \int x \arctg x \space dx = \arctg (x) \cdot \cfrac {x^2}{2} - \cfrac {1}{2}\int x^2 \cfrac {1}{1+x^2}dx = \cfrac {x^2}{2} \arctg x - \cfrac {1}{2} \int 1 - \cfrac {1}{1+x^2} = \underline {\cfrac {x^2}{2} \arctg x - \cfrac {1}{2} [x- \arctg x ] + C}$$

Recuerda que: Se suele tomar la constante de integración como $$C=0$$​