Bases vectoriales y coordenadas en 2D

Bases de V$$\bold{^2}$$​​

Una base de vectores en dos dimensiones es capaz de representar a cualquier vector del plano si se cumple lo siguiente:

• Son vectores no nulos
  
• Son linealmente independientes

Si es así, se puede expresar un vector $$\overrightarrow{w}$$ tal que: 

$$\overrightarrow{w}=\alpha\overrightarrow{u}+\beta\overrightarrow{v}$$

Recuerda que: A los valores  y  se les denomina coordenadas del vector  en la base de vectores $$\alpha$$$$\beta$$$$\overrightarrow{w}$$$$B=(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$$

En función de los vectores que forman la base, esta puede ser:

• Base ortogonal: los vectores $$\overrightarrow{u}$$​ y $$\overrightarrow{v}$$ son perpendiculares.
• Base ortonormal: los vectores $$\overrightarrow{u}$$ y $$\overrightarrow{v}$$ son perpendiculares y unitarios.​

Ejemplo ​

Los vectores $$\overrightarrow{a}$$ y $$\overrightarrow{b}$$ forman una base ortogonal.

Si se cumple que $$\it{|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|=1}$$ formarían una base ortonormal.

Base canónica de V$$\bold{^2}$$ 

La base canónica de $$V^2$$ está compuesta por dos vectores unitarios y perpendiculares entre sí.

Estos vectores reciben la nomenclatura: $$(\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$$

Ejemplo

Los vectores $$(\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$$  forman una base canónica en V$$\it^2$$​

El vector $$\overrightarrow{a}$$ se puede expresar como combinación lineal: $$\underline{\overrightarrow{a}=\overrightarrow{i}+3\overrightarrow{j}}$$. 

Operaciones por coordenadas en V$$\bold{^2}$$ 

Sean dos vectores $$\overrightarrow{u}=(u_1,u_2)$$ y $$\overrightarrow{v}=(v_1,v_2)$$ se definen las siguientes operaciones: