Asíntotas verticales, horizontales y oblicuas

Asíntotas

Una asíntota es una recta a la que se aproxima, pero nunca interseca, una rama de una función. Estas asíntotas pueden ser de tres tipos.

• Verticales
  
• Horizontales
• Oblicuas

Asíntotas verticales

Las asíntotas verticales son rectas de la forma $$\bf x=a$$ en las que se cumple alguno de los siguientes casos:

• $$\lim\limits_{x\to a^-}f(x)=\infty$$
  

• $$\lim\limits_{x\to a^-}f(x)=+\infty$$​

• $$\lim\limits_{x\to a^+}f(x)=-\infty$$
  

• $$\lim\limits_{x\to a^+}f(x)=-\infty$$  

Asíntotas horizontales

Las asíntotas horizontales son rectas de la forma $$\bf y=b$$ si se cumple alguno de los siguientes casos.

• $$\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=b$$
  
• $$\lim\limits_{x\to -\infty}f(x)=b$$
  

​

Ejemplo

Identifica las asíntotas de la siguiente función:

Calculando los límites en la discontinuidad y en el infinito:

$$\it{\lim\limits_{x\to 1^+}=+\infty \hspace{15mm} \lim\limits_{x\to 1^-}=-\infty \hspace{15mm} \lim\limits_{x\to +\infty}=0 }$$

La función de la figura tiene una asíntota vertical en $$\it{\underline{x=1}}$$ y una asíntota horizontal en $$\it{\underline{y=0}}$$

​

Asíntotas oblicuas

Las asíntotas oblicuas tienden a una recta de la forma $$\bf y=mx+n$$ ​

​

Cálculo de las rectas oblicuas

Para calcular la ecuación de las asíntotas oblicuas sigue los siguientes pasos:

Procedimiento

Ejemplo

Calcula la ecuación de la asíntota oblicua de la siguiente función:

$$\cfrac{x^2+4}{x-1}$$​​ 

Se calcula la pendiente:

​$$m=\lim\limits_{x\to +\infty}\cfrac{x^2+4}{x^2-x} \xRightarrow{L' Hôpital}m=1$$

Se calcula la ordenada en el origen:

​$$n=\lim\limits_{x\to +\infty}\cfrac{x^2+4}{x-1}-x= \lim\limits_{x\to +\infty}\cfrac{x^2+4}{x-1}-\cfrac{x^2-x}{x-1}=\lim\limits_{x\to +\infty}\cfrac{4+x}{x-1}\xRightarrow{L' Hôpital}n=4$$

La asíntota oblicua es la recta $$\underline{y=x+4}$$