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Asíntotas verticales, horizontales y oblicuas

Asíntotas verticales, horizontales y oblicuas

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Docente: Jorge

Resumen

Asíntotas verticales, horizontales y oblicuas

Asíntotas

Una asíntota es una recta a la que se aproxima, pero nunca interseca, una rama de una función. Estas asíntotas pueden ser de tres tipos.

  • Verticales
  • Horizontales
  • Oblicuas


Asíntotas verticales

Las asíntotas verticales son rectas de la forma x=a\bf x=a en las que se cumple alguno de los siguientes casos:

  • limxaf(x)=\lim\limits_{x\to a^-}f(x)=\infty
  • limxaf(x)=+\lim\limits_{x\to a^-}f(x)=+\infty
  • limxa+f(x)=\lim\limits_{x\to a^+}f(x)=-\infty
  • limxa+f(x)=\lim\limits_{x\to a^+}f(x)=-\infty  


Asíntotas horizontales

Las asíntotas horizontales son rectas de la forma y=b\bf y=b si se cumple alguno de los siguientes casos.

  • limx+f(x)=b\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=b
  • limxf(x)=b\lim\limits_{x\to -\infty}f(x)=b

Ejemplo

Identifica las asíntotas de la siguiente función:

Matemáticas; Funciones; 1. Bachillerato; Asíntotas verticales, horizontales y oblicuas


Calculando los límites en la discontinuidad y en el infinito:

limx1+=+limx1=limx+=0\it{\lim\limits_{x\to 1^+}=+\infty \hspace{15mm} \lim\limits_{x\to 1^-}=-\infty \hspace{15mm} \lim\limits_{x\to +\infty}=0 }


La función de la figura tiene una asíntota vertical en x=1\it{\underline{x=1}} y una asíntota horizontal en y=0\it{\underline{y=0}}


Asíntotas oblicuas

Las asíntotas oblicuas tienden a una recta de la forma y=mx+n\bf y=mx+n ​


Cálculo de las rectas oblicuas

Para calcular la ecuación de las asíntotas oblicuas sigue los siguientes pasos:


Procedimiento

1.
Halla la pendiente de la recta calculando limx+f(x)x\lim\limits_{x\to +\infty}\cfrac{f(x)}{x}​​
2.
Halla la ordenada en el origen calculando limx+(f(x)mx)\lim\limits_{x\to +\infty}(f(x)-mx)​​


Ejemplo

Calcula la ecuación de la asíntota oblicua de la siguiente función:

x2+4x1\cfrac{x^2+4}{x-1}​​ 


Se calcula la pendiente:

m=limx+x2+4x2xLHo^pitalm=1m=\lim\limits_{x\to +\infty}\cfrac{x^2+4}{x^2-x} \xRightarrow{L' Hôpital}m=1


Se calcula la ordenada en el origen:

n=limx+x2+4x1x=limx+x2+4x1x2xx1=limx+4+xx1LHo^pitaln=4n=\lim\limits_{x\to +\infty}\cfrac{x^2+4}{x-1}-x= \lim\limits_{x\to +\infty}\cfrac{x^2+4}{x-1}-\cfrac{x^2-x}{x-1}=\lim\limits_{x\to +\infty}\cfrac{4+x}{x-1}\xRightarrow{L' Hôpital}n=4


La asíntota oblicua es la recta y=x+4\underline{y=x+4} 


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Preguntas frecuentes

¿Cómo calculo las asíntotas verticales en funciones racionales?

¿Cómo se estudian las asíntotas?

¿Qué son las asíntotas?

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