Asíntotas verticales, horizontales y oblicuas

Asíntotas

Una asíntota es una recta a la que se aproxima, pero nunca interseca, una rama de una función. Estas asíntotas pueden ser de tres tipos.

Verticales
Horizontales
Oblicuas

Asíntotas verticales

Las asíntotas verticales son rectas de la forma $\bf x=a$ en las que se cumple alguno de los siguientes casos:

$\lim\limits_{x\to a^-}f(x)=\infty$

$\lim\limits_{x\to a^-}f(x)=+\infty$

$\lim\limits_{x\to a^+}f(x)=-\infty$

$\lim\limits_{x\to a^+}f(x)=-\infty$

Asíntotas horizontales

Las asíntotas horizontales son rectas de la forma $\bf y=b$ si se cumple alguno de los siguientes casos.

$\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=b$
$\lim\limits_{x\to -\infty}f(x)=b$

Ejemplo

Identifica las asíntotas de la siguiente función:

Matemáticas; Funciones; 1. Bachillerato; Asíntotas verticales, horizontales y oblicuas

Calculando los límites en la discontinuidad y en el infinito:

$\it{\lim\limits_{x\to 1^+}=+\infty \hspace{15mm} \lim\limits_{x\to 1^-}=-\infty \hspace{15mm} \lim\limits_{x\to +\infty}=0 }$

La función de la figura tiene una asíntota vertical en $\it{\underline{x=1}}$ y una asíntota horizontal en $\it{\underline{y=0}}$

Asíntotas oblicuas

Las asíntotas oblicuas tienden a una recta de la forma $\bf y=mx+n$

Cálculo de las rectas oblicuas

Para calcular la ecuación de las asíntotas oblicuas sigue los siguientes pasos:

Procedimiento

1.	Halla la pendiente de la recta calculando $\lim\limits_{x\to +\infty}\cfrac{f(x)}{x}$
2.	Halla la ordenada en el origen calculando $\lim\limits_{x\to +\infty}(f(x)-mx)$

Ejemplo

Calcula la ecuación de la asíntota oblicua de la siguiente función:

$\cfrac{x^2+4}{x-1}$ 

Se calcula la pendiente:

$m=\lim\limits_{x\to +\infty}\cfrac{x^2+4}{x^2-x} \xRightarrow{L' Hôpital}m=1$

Se calcula la ordenada en el origen:

$n=\lim\limits_{x\to +\infty}\cfrac{x^2+4}{x-1}-x= \lim\limits_{x\to +\infty}\cfrac{x^2+4}{x-1}-\cfrac{x^2-x}{x-1}=\lim\limits_{x\to +\infty}\cfrac{4+x}{x-1}\xRightarrow{L' Hôpital}n=4$

La asíntota oblicua es la recta $\underline{y=x+4}$