Función logarítmica: Análisis y representación

Propiedades de la función logarítmica

Definición

Las funciones logarítmicas son del tipo $$f(x)=\log_a{x}$$​ y $$(a\gt0,a\not=1)$$​​

Dominio y continuidad

El dominio es estrictamente positivo, por lo tanto, $$D(f)=(0,+\infty)$$, y es continua en todo este intervalo.

Simetría y periodicidad

No es ni simétrica ni periódica ya que su dominio son sólo los números positivos.

Puntos de corte

Corta al eje $$X$$​ en (1,0) pero no corta al eje $$Y$$​. El signo de la función depende de:

​$$a\lt1\begin{cases} f\lt0 &\text{si } x\gt1 \\ f\gt0 &\text{si } x\lt1\end{cases}$$​        $$a\gt1\begin{cases} f\lt0 &\text{si } x\lt1 \\ f\gt0 &\text{si } x\gt1\end{cases}$$​

​​Asíntotas

Tiene una asíntota en cero que tiende a menos infinito si $$a\gt1$$​ y a infinito si $$a\lt1$$​.

Ejemplo

Analiza la función $$f(x)=log_3(x^2-9)$$

El dominio de la función es $$(-\infty,-3)\cup(3,+\infty)$$ porque en el intervalo $$[-3,3]$$ el interior del paréntesis da cero o negativo.

La función corta al eje $$X$$​ cuando $$x=\sqrt{10}$$ porque el paréntesis se iguala a uno y el logaritmo en cualquier base de uno es cero.

Los límites en los extremos del intervalo son:

​$$\lim\limits_{x\to -3^-}f(x)=-\infty$$​​

​$$\lim\limits_{x\to -3^+}f(x)=-\infty$$

​​

Por lo tanto, tiene dos asíntotas verticales, una en $$x=-3$$​ y otra en $$x=3$$.