Integración de funciones por cambio de variable

El método de integración por cambio de variable tiene su base en la regla de la cadena. Siempre que $f$ y $g$ sean funciones derivables, la regla de la cadena asegura que $(f \circ g)'(x)=f'\left(g(x)\right)g'(x)$ , con lo que se tiene:

$\displaystyle \int f'(g(x))g'(x)dx=f(g(x))+C$

Así, a veces, es conveniente sustituir la función $g(x)$ por $t$ y la expresión $g'(x)dx$ por $dt$ , ya que la integral quedaría $\displaystyle \int f'(t)dt$ , que es más fácil de calcular.

Cálculo de integral por cambio de variable

procedimiento

1.	Identifica en el integrando una expresión $g(x)=t$ cuya derivada $g'(x)$ también aparezca como factor ó que conlleve una integral más fácil una vez hecho el cambio.
2.	Sustituye $g(x)$ por $t$ y $g'(x)dx$ por $dt$
3.	Resuelve la integral en función de $t$
4.	Deshaz el cambio de variable

Ejemplo

Resuelve la siguiente integral por cambio de variable: $\it \displaystyle\int\cfrac{e^{3x}}{1+e^{3x}}dx$

Se empieza eligiendo cuál es el cambio de variable que más interesa hacer, que sería el $g(x)$ del procedimiento; en este caso, por la estructura del integrando parece adecuado elegir como cambio de variable

${\it t=e^x}$

Ahora, se sustituye $g'(x)dx$ por $dt$

${ g'(x)=e^x=t}\\{ g'(x)dx=dt \implies dx=\cfrac{dt}{t}}$

Se sustituye en la integral y resolvemos

${\it \displaystyle\int\cfrac{e^{3x}}{1+e^{3x}}dx=\displaystyle\int\cfrac{t^3}{1+t^3}\cdot\cfrac{1}{t}dt}\\{\it \displaystyle\int\cfrac{t^3}{1+t^3}\cdot\cfrac{1}{t}dt=\displaystyle\int\cfrac{t^2}{1+t^3}dt=\cfrac{1}{3}\cdot \ln(1+t^3)+C}$

Se deshace el cambio de variable

$\cfrac{1}{3}\cdot \ln(1+t^3)=\cfrac{1}{3}\cdot \ln(1+e^{3x})$

Y concluimos con:

$\it\displaystyle\int\cfrac{e^{3x}}{1+e^{3x}}dx=\underline{\cfrac{1}{3}\cdot \ln(1+e^{3x})}$