Calcular el punto de corte se basa en expresar ambas rectas en la misma forma e igualarlas
Ejemplo
Calcula el punto de intersección de las rectas r:y=4x−1 y s:−2x+5
En este caso, como ambas rectas están expresadas en el mismo tipo de ecuación de la recta, directamente igualamos y resolvemos.
4x−1=−2x+56x=6x=1y=4⋅1−1=3El punto de corte es P(1,3)
Intersección de dos rectas en el espacio
Calcular el punto de corte se basa en igualar las ecuaciones paramétricas
Recuerda que: dos rectas en el espacio que son secantes forman un plano
Ejemplo
Calcula el punto de corte de las rectas r:⎩⎨⎧x=−ty=8z=3−t y s:⎩⎨⎧x=3+2ty=10+2tz=5+t
En primer lugar cambiamos el nombre a los parámetros para no confundirnos. En este caso, el parámetro t de la recta r ahora lo llamaremos λ.
Después, igualamos las expresiones de ambas ecuaciones para las dos incógnitas que queramos y resolvemos el sistema. Hemos elegido las expresiones de x e y
{−λ=3+2t8=10+2t⟹t=−1,λ=−1
Por último, sustituimos el valor de uno de los parámetros en sus respectivas ecuaciones paramétricas y obtenemos el punto de corte
⎩⎨⎧x=−λy=8z=3−λsi λ=−1⟹El punto de corte es: P(1,8,4)
Ángulos formados por dos rectas
Para calcular el ángulo formado por dos rectas se utiliza el producto escalar de sus vectores directores. Esto es válido tanto para rectas en el plano como rectas en el espacio.
Si u es el vector director de una recta r, y v es el vector director de una recta s, se tiene:
∣u⋅v∣=∣u∣⋅∣v∣⋅cos(r,s)⟹cos(r,s)=∣u∣⋅∣v∣∣u⋅v∣
Ejemplo
Calcula el ángulo formado por las rectas r:⎩⎨⎧x=1−ty=2z=t y s:⎩⎨⎧x=2+λy=2λz=3
En primer lugar debemos de calcular los vectores directores de ambas rectas, como se nos dan en ecuaciones paramétricas, tan solo debemos fijarnos qué números multiplican a los parámetros, así obtenemos:
vr=(−1,0,1)vs=(1,2,0)
Por último, introducimos nuestros datos en la fórmula y obtenemos el resultado final:
cos(r,s)=∣vr∣⋅∣vs∣∣vr⋅vs∣=(−1)2+02+12⋅12+22+02∣−1+0+0∣=101cos(r,s)=101⟹El aˊngulo formado por las rectas r y s es de 71,56º
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Duración:
Unidad 1
Ecuación vectorial de la recta en 2D y 3D
Unidad 2
Posición relativa de dos rectas en 2D y 3D
Prueba de Avance
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Opcional
Unidad 3
Intersección de dos rectas en 2D y 3D
Prueba Final
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Preguntas frecuentes
¿Cómo se calcula el ángulo que forman dos rectas secantes?
Mediante el uso del producto escalar con sus respectivos vectores directores.
¿Cómo se calcula el punto de intersección de dos rectas secantes?
Resolviendo el sistema de ecuaciones formado por las ecuaciones de ambas rectas