Intersección de dos rectas en 2D y 3D

Intersección de dos rectas en el plano

Calcular el punto de corte se basa en expresar ambas rectas en la misma forma e igualarlas

Ejemplo

Calcula el punto de intersección de las rectas $$r:y=4x-1$$ y $$s: -2x+5$$

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En este caso, como ambas rectas están expresadas en el mismo tipo de ecuación de la recta, directamente igualamos y resolvemos.

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$$4x-1=-2x+5\newline 6x=6\newline x=1\\y=4\cdot 1-1=3 \\ \\\underline{\text{El punto de corte es }P(1,3)}$$​​

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Intersección de dos rectas en el espacio

Calcular el punto de corte se basa en igualar las ecuaciones paramétricas ​

Recuerda que: dos rectas en el espacio que son secantes forman un plano

Ejemplo 

Calcula el punto de corte de las rectas $$r:\begin{cases}x=-t\\y=8\\z=3-t\\\end{cases}$$ y $$s:\begin{cases}x=3+2t\\y=10+2t\\z=5+t\end{cases}$$

En primer lugar cambiamos el nombre a los parámetros para no confundirnos. En este caso, el parámetro $$t$$ de la recta $$r$$ ahora lo llamaremos $$\lambda$$.

Después, igualamos las expresiones de ambas ecuaciones para las dos incógnitas que queramos y resolvemos el sistema. Hemos elegido las expresiones de $$x$$ e $$y$$

​$$\begin{cases}-\lambda=3+2t\\8=10+2t\end{cases}\implies t=-1, \ \lambda=-1$$​​

Por último, sustituimos el valor de uno de los parámetros en sus respectivas ecuaciones paramétricas y obtenemos el punto de corte

​$$\begin{cases}x=-\lambda\\y=8\\z=3-\lambda\\\end{cases}\ \text{si } \lambda=-1\implies \underline{\text{El punto de corte es: }P(1,8,4)}$$​​

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Ángulos formados por dos rectas

Para calcular el ángulo formado por dos rectas se utiliza el producto escalar de sus vectores directores. Esto es válido tanto para rectas en el plano como rectas en el espacio.

Si $$\overrightarrow u$$ es el vector director de una recta $$r$$, y $$\overrightarrow v$$ es el vector director de una recta $$s$$, se tiene:

$$|\overrightarrow u\cdot \overrightarrow v|=|\overrightarrow u|\cdot |\overrightarrow v|\cdot \cos\widehat{(r,s)}\implies \cos\widehat{(r,s)}=\cfrac{|\overrightarrow u\cdot \overrightarrow v|}{|\overrightarrow u|\cdot |\overrightarrow v| }$$

Ejemplo

Calcula el ángulo formado por las rectas $$r:\begin{cases}x=1-t\\y=2\\z=t\end{cases}$$ y $$s: \begin{cases}x=2+\lambda\\y=2\lambda\\z=3\end{cases}$$

En primer lugar debemos de calcular los vectores directores de ambas rectas, como se nos dan en ecuaciones paramétricas, tan solo debemos fijarnos qué números multiplican a los parámetros, así obtenemos:

​$$\overrightarrow v_r=(-1,0,1)\qquad \overrightarrow v_s=(1,2,0)$$​​

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Por último, introducimos nuestros datos en la fórmula y obtenemos el resultado final:

​$$\cos\widehat{(r,s)}=\cfrac{|\overrightarrow v_r\cdot \overrightarrow v_s|}{|\overrightarrow v_r|\cdot |\overrightarrow v_s| }=\cfrac{|-1+0+0|}{\sqrt{(-1)^2+0^2+1^2}\cdot \sqrt{1^2+2^2+0^2}}=\cfrac{1}{\sqrt{10}}\\\quad \\\cos\widehat{(r,s)}=\cfrac{1}{\sqrt{10}}\implies \underline{\text{El ángulo formado por las rectas r y s es de 71,56º}}$$​​