Sistemas de ecuaciones lineales con tres incógnitas

Resolver sistemas de ecuaciones lineales

Definición

Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones de primer grado que pueden tener varias incógnitas. La solución es aquella que es válida para todas las ecuaciones del sistema.

Ejemplo

$\begin{cases} x+y+z=1 \\ 2x-4y=0 \\ 4z-y=0\end{cases}$

Sistemas equivalentes

La forma de resolver estos sistemas es mediante la obtención de un sistema equivalente, el cual se obtiene aplicando el método de reducción de forma ordenada. Algunas operaciones típicas son:

Sumar y restar lo mismo en los dos miembros de alguna de sus ecuaciones.
Multiplicar o dividir lo mismo en los dos miembros de alguna de sus ecuaciones.
Sumar o restar a una de las ecuaciones un múltiplo de otra ecuación presente en el sistema.

Soluciones de los sistemas de ecuaciones lineales

En función del número de soluciones que tenga un sistema de ecuaciones lineales se les denominará de una forma u otra. Los tres casos posibles son:

Sistema compatible determinado	Tiene una única solución
sistema compatible indeterminado	Tiene infinitas soluciones
sistema incompatible	No tiene solución

Ejemplo

Obtén un sistema de ecuaciones equivalente e indica de qué tipo es según sus soluciones:

$\begin{cases} \begin{aligned} x+y+z&=6 \\ x-y-2z&=-7 \\ 3x+y-z&=2\end{aligned} \end{cases}$

$\xrightarrow[E_3=E_3-3E_1]{E_2=E_2-E_1} \begin{cases} \begin{aligned} x+y+z&=6 \\ -2y-3z&=-13 \\ -2y-4z&=-16\end{aligned} \end{cases} \xrightarrow[]{E_3=E_3-E_2} \begin{cases} \begin{aligned} x+y+z&=6 \\ -2y-3z&=-13 \\ -z&=-3\end{aligned} \end{cases}$

$\underline{ z=3 \implies y=2\implies x=1}$

El sistema de ecuaciones es compatible determinado.