Frecuencia y probabilidad de un suceso

Frecuencia

La frecuencia absoluta de un suceso $$A$$​ es el número de veces que ocurre $$A$$​. La frecuencia relativa de A es el cociente entre la frecuencia absoluta y el número de repeticiones.

​$$h(A)=\cfrac{f(A)}{n}$$​​

La frecuencia relativa es un número en el intervalo $$[0,1]$$​. Si es cero nunca sucede y si es uno es un suceso seguro.

Si $$A$$​ y $$B$$​ son dos sucesos incompatibles entonces $$h(A+B)=h(A)+h(B)$$​​

Ejemplo

Si la frecuencia relativa al tirar una moneda de sacar cara es $$0,5$$​ y de sacar cruz es $$0,5$$, ¿Cuál es la frecuencia relativa de sacar cara o cruz?

Solución:

$$\underline{\rm{La \space frecuencia \space relativa \space es \space }0,5+0,5=1, \space por \space lo \space que \space es \space un \space suceso \space seguro.}$$

Probabilidad

La probabilidad de un suceso $$A$$​ es el límite de la frecuencia relativa cuando el número de repeticiones tiende a infinito.

​$$P(A)=\lim\limits_{n\to\infty}h(A)$$​​

En el espacio muestral $$E$$​, a la función $$P$$​ que da un suceso $$A$$​ se le asocia un número real $$P(A)$$​. La probabilidad es una definición axiomática, por lo que se acepta pero no se puede demostrar. Sus axiomas son:

• $$P(A)\geq0$$​​
• ​$$P(E)=1$$​​
• ​$$P(A_1\cup A_2\cup...\cup A_k)=P(A_1)+P(A_2)+...+P(A_k)\implies P(\underset{j=1}{\overset{k}{\bigcup}}A_j)=\underset{j=1}{\overset{k}{\sum}}P(A_j)$$​​

La frecuencia relativa es una medida experimental y la probabilidad es predictiva.

Ejemplo

Comprueba si las funciones de estos sucesos al tirar una moneda son de probabilidad:

1. ​$$P(1)=0,4$$​ y $$P(2)=0,3$$;Como $$P(E)=0,7$$​ no se cumple el segundo axioma.
2. ​$$P(1)=0,6$$ y $$P(2)=-0,3$$​; Como $$P(2)\lt0$$​ no se cumple el primer axioma.
3. ​$$P(1)=0,4$$​ y $$P(2)=0,6$$​; Se cumplen los tres axiomas, es una función de probabilidad.