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Frecuencia y probabilidad de un suceso

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Docente: Pablo

Resumen

Frecuencia y probabilidad de un suceso

Frecuencia

La frecuencia absoluta de un suceso AA​ es el número de veces que ocurre AA​. La frecuencia relativa de A es el cociente entre la frecuencia absoluta y el número de repeticiones.


h(A)=f(A)nh(A)=\cfrac{f(A)}{n}​​


La frecuencia relativa es un número en el intervalo [0,1][0,1]​. Si es cero nunca sucede y si es uno es un suceso seguro.

Si AA​ y BB​ son dos sucesos incompatibles entonces h(A+B)=h(A)+h(B)h(A+B)=h(A)+h(B)​​


Ejemplo

Si la frecuencia relativa al tirar una moneda de sacar cara es 0,50,5​ y de sacar cruz es 0,50,5, ¿Cuál es la frecuencia relativa de sacar cara o cruz?


Solución:

La frecuencia relativa es 0,5+0,5=1, por lo que es un suceso seguro.\underline{\rm{La \space frecuencia \space relativa \space es \space }0,5+0,5=1, \space por \space lo \space que \space es \space un \space suceso \space seguro.}


Probabilidad

La probabilidad de un suceso AA​ es el límite de la frecuencia relativa cuando el número de repeticiones tiende a infinito.


P(A)=limnh(A)P(A)=\lim\limits_{n\to\infty}h(A)​​


En el espacio muestral EE​, a la función PP​ que da un suceso AA​ se le asocia un número real P(A)P(A)​. La probabilidad es una definición axiomática, por lo que se acepta pero no se puede demostrar. Sus axiomas son:

  • P(A)0P(A)\geq0​​
  • P(E)=1P(E)=1​​
  • P(A1A2...Ak)=P(A1)+P(A2)+...+P(Ak) P(kj=1Aj)=kj=1P(Aj)P(A_1\cup A_2\cup...\cup A_k)=P(A_1)+P(A_2)+...+P(A_k)\implies P(\underset{j=1}{\overset{k}{\bigcup}}A_j)=\underset{j=1}{\overset{k}{\sum}}P(A_j)​​

La frecuencia relativa es una medida experimental y la probabilidad es predictiva.


Ejemplo

Comprueba si las funciones de estos sucesos al tirar una moneda son de probabilidad:

  1. P(1)=0,4P(1)=0,4y P(2)=0,3P(2)=0,3;Como P(E)=0,7P(E)=0,7no se cumple el segundo axioma.
  2. P(1)=0,6P(1)=0,6 y P(2)=0,3P(2)=-0,3​; Como P(2)<0P(2)\lt0no se cumple el primer axioma.
  3. P(1)=0,4P(1)=0,4y P(2)=0,6P(2)=0,6​; Se cumplen los tres axiomas, es una función de probabilidad.



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