Frecuencia y probabilidad de un suceso

Frecuencia

La frecuencia absoluta de un suceso $A$ es el número de veces que ocurre $A$ . La frecuencia relativa de A es el cociente entre la frecuencia absoluta y el número de repeticiones.

$h(A)=\cfrac{f(A)}{n}$

La frecuencia relativa es un número en el intervalo $[0,1]$ . Si es cero nunca sucede y si es uno es un suceso seguro.

Si $A$ y $B$ son dos sucesos incompatibles entonces $h(A+B)=h(A)+h(B)$

Ejemplo

Si la frecuencia relativa al tirar una moneda de sacar cara es $0,5$  y de sacar cruz es $0,5$ , ¿Cuál es la frecuencia relativa de sacar cara o cruz?

Solución:

$\underline{\rm{La \space frecuencia \space relativa \space es \space }0,5+0,5=1, \space por \space lo \space que \space es \space un \space suceso \space seguro.}$

Probabilidad

La probabilidad de un suceso $A$ es el límite de la frecuencia relativa cuando el número de repeticiones tiende a infinito.

$P(A)=\lim\limits_{n\to\infty}h(A)$

En el espacio muestral $E$ , a la función $P$ que da un suceso $A$ se le asocia un número real $P(A)$ . La probabilidad es una definición axiomática, por lo que se acepta pero no se puede demostrar. Sus axiomas son:

$P(A)\geq0$
$P(E)=1$
$P(A_1\cup A_2\cup...\cup A_k)=P(A_1)+P(A_2)+...+P(A_k)\implies P(\underset{j=1}{\overset{k}{\bigcup}}A_j)=\underset{j=1}{\overset{k}{\sum}}P(A_j)$

La frecuencia relativa es una medida experimental y la probabilidad es predictiva.

Ejemplo

Comprueba si las funciones de estos sucesos al tirar una moneda son de probabilidad:

$P(1)=0,4$ y $P(2)=0,3$ ;Como $P(E)=0,7$  no se cumple el segundo axioma.
$P(1)=0,6$ y $P(2)=-0,3$ ; Como $P(2)\lt0$  no se cumple el primer axioma.
$P(1)=0,4$ y $P(2)=0,6$ ; Se cumplen los tres axiomas, es una función de probabilidad.