Distribuciones continuas: Características

Una función, $$f(x)$$, definida en una recta real, es una función de densidad de una variable aleatoria continua X si se cumple que:

• ​$$f(x)\geq 0$$, siendo $$x$$ todo número real.
  
• El área limitada por el eje de abscisas y la gráfica es $$1.$$
  

Si se cumplen estas condiciones y $$f(x)$$ es la función de densidad de una variable aleatoria continua, se da que:

$$P(a\le 0 \le b)=\int_a^b f(x) dx$$

Se conoce como función de distribución de la variable $$X$$ a la función que denota la probabilidad acumulada hasta el valor $$X=x$$, dada una variable aleatoria continua $$X.$$

$$F(x)=P(X\leq x)$$

Esperanza y varianza de una variable aleatoria continua $$X$$

Ejemplo

El tiempo de espera para un pasajero en una parada de cercanías sigue una variable aleatoria continua con función de densidad:

$$f(x)= \begin{cases} \cfrac{1}{15} &\text{si } 0 \leq x \leq 15 \\ 0 &\text{en el resto} \end{cases}$$

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Determina la probabilidad de que otro pasajero aleatorio tenga que esperar más de $$10$$ minutos. 

La probabilidad de que otro pasajero aleatorio espere más de diez minutos es:

$$P(X>10)=(15-10)\cfrac{1}{15} =\underline{\cfrac{1}{3}}$$​​

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