Integrales definidas: Propiedades

Integral definida 

Sea $$f$$ una función continua en el intervalo $$[a,b]$$, que se divide en $$n$$ intervalos de longitud $$\Delta x=\cfrac{b-a}{n}$$ , mediante los puntos $$a=x_0<x_1<...<x_n=b$$.  Se eligen los puntos $$c_i$$ como puntos de muestra de cada intervalo $$[x_{i-1}, x_i]$$ y se forma la suma $$\displaystyle\sum_{i=1}^n f(c_i)\Delta x$$.

Entonces

$$\displaystyle\int_{a}^b f(x)dx=\lim\limits_{n \to \infty}\displaystyle\sum_{i=1}^nf(c_i)\Delta x$$

Recuerda que: No es necesario que todos los subintervalos sean iguales, basta con exigir que el de mayor longitud tienda a 0.

Relación entre integral y área bajo la curva

• Cuando $$f(x)\geq0$$ en $$[a,b]$$, entonces $$\displaystyle\int_{a}^bf(x)dx$$ será el área de la región limitada por la curva $$y=f(x)$$, las rectas verticales $$x=a$$ y $$x=b$$ y el eje de abscisas​
• Cuando $$f(x)\leq0$$ en $$[a,b]$$, entonces $$-\displaystyle\int_{a}^bf(x)dx$$ será el área de la región limitada por la curva $$y=f(x)$$, las rectas verticales $$x=a$$ y $$x=b$$ y el eje de abscisas ​
• Cuando $$f(x)>0$$ ó $$f=0$$​ en $$[a,c]$$ y $$f<0$$ en $$[b,c]$$, entonces $$\displaystyle\int_{a}^bf(x)dx$$ valdrá $$A_1-A_2$$, con $$[a,b]$$ y $$[b,c]$$ las áreas encerradas bajo la curva.

Ejemplo 

Calcula el área encerrada bajo la curva $$f(x)=x^2$$ en el intervalo $$[1,3]$$

Como la función es positiva en todo el intervalo, el área encerrada viene dada por la siguiente integral definida

$${\it \displaystyle\int_{1}^3x^2dx= \cfrac{x^3}{3}\ \Bigg|_{1}^{3}=\cfrac{3^3}{3}-\cfrac{1^3}{3}=\underline{\cfrac{26}{3}}}$$​​

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Propiedades de la integral definida

Ejemplo

Calcula $${\it \displaystyle\int_{a}^b(2x^2+x^3)dx}$$

$$\it {\displaystyle\int_{1}^2(2x^2+x^3)dx=2\displaystyle\int_{1}^2x^2\ dx+\displaystyle\int_{1}^2x^3\ dx=2\left (\cfrac{x^3}{3}\right)\Bigg|_{1}^2+\cfrac{x^4}{4}\Bigg|_{1}^2=\cfrac{14}{3}-\cfrac{15}{4}=\underline{\cfrac{11}{12}}}$$​​