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Integrales definidas

Integrales definidas: Propiedades

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Docente: Antonio

Resumen

Integrales definidas: Propiedades

Integral definida 

Sea ff una función continua en el intervalo [a,b][a,b], que se divide en nn intervalos de longitud Δx=ban\Delta x=\cfrac{b-a}{n} , mediante los puntos a=x0<x1<...<xn=ba=x_0<x_1<...<x_n=b.  Se eligen los puntos cic_i como puntos de muestra de cada intervalo [xi1,xi][x_{i-1}, x_i] y se forma la suma i=1nf(ci)Δx\displaystyle\sum_{i=1}^n f(c_i)\Delta x.


Entonces


abf(x)dx=limni=1nf(ci)Δx\displaystyle\int_{a}^b f(x)dx=\lim\limits_{n \to \infty}\displaystyle\sum_{i=1}^nf(c_i)\Delta x


Recuerda que: No es necesario que todos los subintervalos sean iguales, basta con exigir que el de mayor longitud tienda a 0.


Relación entre integral y área bajo la curva

  • Cuando f(x)0f(x)\geq0 en [a,b][a,b], entonces abf(x)dx\displaystyle\int_{a}^bf(x)dx será el área de la región limitada por la curva y=f(x)y=f(x), las rectas verticales x=ax=a y x=bx=b y el eje de abscisas
  • Cuando f(x)0f(x)\leq0 en [a,b][a,b], entonces abf(x)dx-\displaystyle\int_{a}^bf(x)dx será el área de la región limitada por la curva y=f(x)y=f(x), las rectas verticales x=ax=a y x=bx=b y el eje de abscisas
  • Cuando f(x)>0f(x)>0 ó f=0f=0​ en [a,c][a,c] y f<0f<0 en [b,c][b,c], entonces abf(x)dx\displaystyle\int_{a}^bf(x)dx valdrá A1A2A_1-A_2, con [a,b][a,b] y [b,c][b,c] las áreas encerradas bajo la curva.

Ejemplo 

Calcula el área encerrada bajo la curva f(x)=x2f(x)=x^2 en el intervalo [1,3][1,3]


Como la función es positiva en todo el intervalo, el área encerrada viene dada por la siguiente integral definida

13x2dx=x33 13=333133=263{\it \displaystyle\int_{1}^3x^2dx= \cfrac{x^3}{3}\ \Bigg|_{1}^{3}=\cfrac{3^3}{3}-\cfrac{1^3}{3}=\underline{\cfrac{26}{3}}}​​


​​

Propiedades de la integral definida

1.
abf(x)dx=baf(x)dx\displaystyle\int_{a}^bf(x)dx=-\displaystyle\int_{b}^af(x)dx​​
2.
aaf(x)dx=0\displaystyle\int_{a}^af(x)dx=0​​
3.
abk dx=k(ba),kR\displaystyle\int_{a}^bk\ dx=k(b-a), k\in \R​​
4.
ab(f(x)+g(x))dx=abf(x)dx+abg(x)dx\displaystyle\int_{a}^b(f(x)+g(x))dx=\displaystyle\int_{a}^bf(x)dx+\displaystyle\int_{a}^bg(x)dx​​
5.
abkf(x)dx=kabf(x)dx,kR\displaystyle\int_{a}^bkf(x)dx=k\displaystyle\int_{a}^bf(x)dx, k\in\R​​
6.
acf(x)dx+cbf(x)dx=abf(x)dx\displaystyle\int_{a}^cf(x)dx+\displaystyle\int_{c}^bf(x)dx=\displaystyle\int_{a}^bf(x)dx​​
7.
f(x)0 en [a,b] abf(x)dx0f(x)\geq0\ \text{en}\ [a,b]\implies\displaystyle\int_{a}^bf(x)dx\geq0​​
8.
f(x)g(x) en [a,b] abf(x)dxabg(x)dxf(x)\geq g(x)\ \text{en}\ [a,b]\implies\displaystyle\int_{a}^bf(x)dx\geq\displaystyle\int_{a}^bg(x)dx​​
9.
mf(x)M en [a,b] m(ba)abf(x)dxM(ba)m\leq f(x)\leq M\ \text{en}\ [a,b]\implies m(b-a)\leq\displaystyle\int_{a}^bf(x)dx\leq M(b-a)​​
10.
abf(x)dx abf(x)dx\Bigg|\displaystyle\int_{a}^bf(x)dx\ \Bigg|\leq\displaystyle\int_{a}^b|f(x)|dx​​


Ejemplo

Calcula ab(2x2+x3)dx{\it \displaystyle\int_{a}^b(2x^2+x^3)dx}


12(2x2+x3)dx=212x2 dx+12x3 dx=2(x33)12+x4412=143154=1112\it {\displaystyle\int_{1}^2(2x^2+x^3)dx=2\displaystyle\int_{1}^2x^2\ dx+\displaystyle\int_{1}^2x^3\ dx=2\left (\cfrac{x^3}{3}\right)\Bigg|_{1}^2+\cfrac{x^4}{4}\Bigg|_{1}^2=\cfrac{14}{3}-\cfrac{15}{4}=\underline{\cfrac{11}{12}}}​​

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