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Sistemas de ecuaciones dependientes de parámetros

Vídeo Explicativo

Docente: Antonio

Resumen

Integrales definidas: Propiedades

Integral definida 

Sea fff una función continua en el intervalo [a,b][a,b][a,b], que se divide en nnn intervalos de longitud Δx=b−an\Delta x=\cfrac{b-a}{n}Δx=nb−a​ , mediante los puntos a=x0<x1<...<xn=ba=x_0<x_1<...<x_n=ba=x0​<x1​<...<xn​=b.  Se eligen los puntos cic_ici​ como puntos de muestra de cada intervalo [xi−1,xi][x_{i-1}, x_i][xi−1​,xi​] y se forma la suma ∑i=1nf(ci)Δx\displaystyle\sum_{i=1}^n f(c_i)\Delta xi=1∑n​f(ci​)Δx.


Entonces


∫abf(x)dx=lim⁡n→∞∑i=1nf(ci)Δx\displaystyle\int_{a}^b f(x)dx=\lim\limits_{n \to \infty}\displaystyle\sum_{i=1}^nf(c_i)\Delta x∫ab​f(x)dx=n→∞lim​i=1∑n​f(ci​)Δx


Recuerda que: No es necesario que todos los subintervalos sean iguales, basta con exigir que el de mayor longitud tienda a 0.


Relación entre integral y área bajo la curva

  • Cuando f(x)≥0f(x)\geq0f(x)≥0 en [a,b][a,b][a,b], entonces ∫abf(x)dx\displaystyle\int_{a}^bf(x)dx∫ab​f(x)dx será el área de la región limitada por la curva y=f(x)y=f(x)y=f(x), las rectas verticales x=ax=ax=a y x=bx=bx=b y el eje de abscisas​
  • Cuando f(x)≤0f(x)\leq0f(x)≤0 en [a,b][a,b][a,b], entonces −∫abf(x)dx-\displaystyle\int_{a}^bf(x)dx−∫ab​f(x)dx será el área de la región limitada por la curva y=f(x)y=f(x)y=f(x), las rectas verticales x=ax=ax=a y x=bx=bx=b y el eje de abscisas ​
  • Cuando f(x)>0f(x)>0f(x)>0 ó f=0f=0f=0​ en [a,c][a,c][a,c] y f<0f<0f<0 en [b,c][b,c][b,c], entonces ∫abf(x)dx\displaystyle\int_{a}^bf(x)dx∫ab​f(x)dx valdrá A1−A2A_1-A_2A1​−A2​, con [a,b][a,b][a,b] y [b,c][b,c][b,c] las áreas encerradas bajo la curva.

Ejemplo 

Calcula el área encerrada bajo la curva f(x)=x2f(x)=x^2f(x)=x2 en el intervalo [1,3][1,3][1,3]


Como la función es positiva en todo el intervalo, el área encerrada viene dada por la siguiente integral definida

∫13x2dx=x33 ∣13=333−133=263‾{\it \displaystyle\int_{1}^3x^2dx= \cfrac{x^3}{3}\ \Bigg|_{1}^{3}=\cfrac{3^3}{3}-\cfrac{1^3}{3}=\underline{\cfrac{26}{3}}}∫13​x2dx=3x3​ ​13​=333​−313​=326​​​​


​​

Propiedades de la integral definida

1.
​∫abf(x)dx=−∫baf(x)dx\displaystyle\int_{a}^bf(x)dx=-\displaystyle\int_{b}^af(x)dx∫ab​f(x)dx=−∫ba​f(x)dx​​
2.
​∫aaf(x)dx=0\displaystyle\int_{a}^af(x)dx=0∫aa​f(x)dx=0​​
3.
​∫abk dx=k(b−a),k∈R\displaystyle\int_{a}^bk\ dx=k(b-a), k\in \R∫ab​k dx=k(b−a),k∈R​​
4.
​∫ab(f(x)+g(x))dx=∫abf(x)dx+∫abg(x)dx\displaystyle\int_{a}^b(f(x)+g(x))dx=\displaystyle\int_{a}^bf(x)dx+\displaystyle\int_{a}^bg(x)dx∫ab​(f(x)+g(x))dx=∫ab​f(x)dx+∫ab​g(x)dx​​
5.
​∫abkf(x)dx=k∫abf(x)dx,k∈R\displaystyle\int_{a}^bkf(x)dx=k\displaystyle\int_{a}^bf(x)dx, k\in\R∫ab​kf(x)dx=k∫ab​f(x)dx,k∈R​​
6.
​∫acf(x)dx+∫cbf(x)dx=∫abf(x)dx\displaystyle\int_{a}^cf(x)dx+\displaystyle\int_{c}^bf(x)dx=\displaystyle\int_{a}^bf(x)dx∫ac​f(x)dx+∫cb​f(x)dx=∫ab​f(x)dx​​
7.
​f(x)≥0 en [a,b] ⟹ ∫abf(x)dx≥0f(x)\geq0\ \text{en}\ [a,b]\implies\displaystyle\int_{a}^bf(x)dx\geq0f(x)≥0 en [a,b]⟹∫ab​f(x)dx≥0​​
8.
​f(x)≥g(x) en [a,b] ⟹ ∫abf(x)dx≥∫abg(x)dxf(x)\geq g(x)\ \text{en}\ [a,b]\implies\displaystyle\int_{a}^bf(x)dx\geq\displaystyle\int_{a}^bg(x)dxf(x)≥g(x) en [a,b]⟹∫ab​f(x)dx≥∫ab​g(x)dx​​
9.
​m≤f(x)≤M en [a,b] ⟹ m(b−a)≤∫abf(x)dx≤M(b−a)m\leq f(x)\leq M\ \text{en}\ [a,b]\implies m(b-a)\leq\displaystyle\int_{a}^bf(x)dx\leq M(b-a)m≤f(x)≤M en [a,b]⟹m(b−a)≤∫ab​f(x)dx≤M(b−a)​​
10.
​∣∫abf(x)dx ∣≤∫ab∣f(x)∣dx\Bigg|\displaystyle\int_{a}^bf(x)dx\ \Bigg|\leq\displaystyle\int_{a}^b|f(x)|dx​∫ab​f(x)dx ​≤∫ab​∣f(x)∣dx​​


Ejemplo

Calcula ∫ab(2x2+x3)dx{\it \displaystyle\int_{a}^b(2x^2+x^3)dx}∫ab​(2x2+x3)dx


∫12(2x2+x3)dx=2∫12x2 dx+∫12x3 dx=2(x33)∣12+x44∣12=143−154=1112‾\it {\displaystyle\int_{1}^2(2x^2+x^3)dx=2\displaystyle\int_{1}^2x^2\ dx+\displaystyle\int_{1}^2x^3\ dx=2\left (\cfrac{x^3}{3}\right)\Bigg|_{1}^2+\cfrac{x^4}{4}\Bigg|_{1}^2=\cfrac{14}{3}-\cfrac{15}{4}=\underline{\cfrac{11}{12}}}∫12​(2x2+x3)dx=2∫12​x2 dx+∫12​x3 dx=2(3x3​)​12​+4x4​​12​=314​−415​=1211​​​​

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Preguntas frecuentes

¿Qué es la suma de Riemann?

La suma de Riemann consiste en una suma infinita de subintervalos que tienden a 0, con la cual se pueden calcular áreas

¿Qué define la integral definida?

La integral definida de una función f en un intervalo cerrado [a,b] define el área de la región limitada por f, el eje de abscisas y las rectas verticales x=a y x=b

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