Sea f una función continua en el intervalo [a,b], que se divide en n intervalos de longitud Δx=nb−a , mediante los puntos a=x0<x1<...<xn=b. Se eligen los puntos ci como puntos de muestra de cada intervalo [xi−1,xi] y se forma la suma i=1∑nf(ci)Δx.
Entonces
∫abf(x)dx=n→∞limi=1∑nf(ci)Δx
Recuerda que: No es necesario que todos los subintervalos sean iguales, basta con exigir que el de mayor longitud tienda a 0.
Relación entre integral y área bajo la curva
Cuando f(x)≥0 en [a,b], entonces ∫abf(x)dx será el área de la región limitada por la curva y=f(x), las rectas verticales x=a y x=b y el eje de abscisas
Cuando f(x)≤0 en [a,b], entonces −∫abf(x)dx será el área de la región limitada por la curva y=f(x), las rectas verticales x=a y x=b y el eje de abscisas
Cuando f(x)>0 ó f=0 en [a,c] y f<0 en [b,c], entonces ∫abf(x)dx valdrá A1−A2, con [a,b] y [b,c] las áreas encerradas bajo la curva.
Ejemplo
Calcula el área encerrada bajo la curva f(x)=x2 en el intervalo [1,3]
Como la función es positiva en todo el intervalo, el área encerrada viene dada por la siguiente integral definida
La suma de Riemann consiste en una suma infinita de subintervalos que tienden a 0, con la cual se pueden calcular áreas
¿Qué define la integral definida?
La integral definida de una función f en un intervalo cerrado [a,b] define el área de la región limitada por f, el eje de abscisas y las rectas verticales x=a y x=b