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Integrales indefinidas II: Inmediatas

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Docente: Gadea

Resumen

Integrales indefinidas II: Inmediatas

​​Integrales inmediatas 

Son aquellas que se pueden determinar de forma directa. Debe estar la función y su derivada para que se puedan calcular. Estas son: 


1.
​∫(f(x))r⋅f′(x)dx=(f(x))r+1r+1+C,si r∈R y r≠−1\displaystyle \int (f(x))^r \cdot f' (x) dx = \cfrac{(f(x))^{r+1}}{r+1}+C, \text{si r} \in \mathbb R \space y \space r \ne -1​​
2.
​∫f′(x)f(x)dx=ln⁡∣f(x)∣+C\displaystyle\int \cfrac {f'(x)}{f (x)}dx=\ln|f(x)|+C​​
3.
​∫ef(x)⋅f′(x)dx=ef(x)+C\displaystyle\int e ^{f(x)} \cdot f'(x) dx=e^{f(x)} + C​​
4.
​∫af(x)⋅f′(x)dx=af(x)ln⁡a+C ,con a∈R y a>0 y a≠1\displaystyle\int a^{f(x)}\cdot f'(x)dx=\cfrac{a^{f(x)}}{\ln a}+ C \space , \text{con} \space a \in \mathbb R \space \text{y} \space a\gt 0 \space \text{y} \space a\ne1​​
5.
​∫sin⁡f(x)⋅f′(x) dx=−cos⁡f(x)+C\displaystyle\int \sin {f(x)} \cdot f'(x) \space dx = - \cos f(x) + C​​
6.
​∫cos⁡f(x)⋅f′(x) dx=sin⁡f(x)+C\displaystyle\int \cos f(x) \cdot f'(x) \space dx = \sin f(x) + C​​
7.
​∫f′(x)cos⁡2f(x)dx=∫(1+tg⁡2f(x))⋅f′(x)dx=∫sec⁡2f(x)⋅f′(x) dx=tg⁡f(x)+C\displaystyle\int \cfrac {f'(x)}{\cos ^2 f(x)}dx= \int (1+\tg^2f(x))\cdot f'(x)dx= \int \sec ^2 f(x) \cdot f'(x) \space dx= \tg f(x) + C​​
8.
​∫f′(x)1−(f(x))2dx=arcsin⁡f(x)+C\displaystyle\int \cfrac{f'(x)}{\sqrt{1-(f(x))^2}} dx = \arcsin f(x)+ C​​
9.
​∫f′(x)1+(f(x))2dx=arctg⁡f(x)+C\displaystyle\int \cfrac{f'(x)}{1+(f(x))^2} dx = \arctg f(x)+ C​​


Ejemplo 

Calcula las siguientes integrales


∫3x21−x6dx=∫3x21−(x3)2dx=arcsin⁡(x3)+C‾\displaystyle\int \cfrac{3x^2}{\sqrt{1-x^6}} dx =\int \cfrac{3x^2}{\sqrt{1-(x^3)^2}}dx = \underline { \arcsin (x^3) + C}


​∫23x+2dx=2∫13x+2dx=23∫13x+23dx=23ln⁡∣3x+2∣+C‾\displaystyle\int \cfrac{2}{3x+2} dx = 2 \int \cfrac{1}{3x+2} dx = \cfrac{2}{3} \int \cfrac{1}{3x+2}3 dx= \underline {\cfrac{2}{3} \ln |3x+2| + C}​​

​​​

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Preguntas frecuentes

¿Cuál es la integral de e^x?

¿Cuál es la integral de sen (x)?

¿Qué son las integrales inmediatas?

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