Bases vectoriales y coordenadas en 3D

Bases de V $\bold{^3}$

Una base de vectores en tres dimensiones es capaz de representar a cualquier vector del espacio si se cumple:

Son vectores no nulos.
Son linealmente independientes entre sí.

Si es así, se puede expresar un vector $\overrightarrow{v}$ tal que:

$\overrightarrow{v}=\alpha_1\overrightarrow{u_1}+\alpha_2\overrightarrow{u_2}+\alpha_3\overrightarrow{u_3}$

Recuerda que: A los valores $\alpha_1$ , $\alpha_2$ y $\alpha_3$ se les denomina coordenadas del vector $\overrightarrow{v}$ en la base de vectores $B=(\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2},\overrightarrow{u_3})$

Base canónica de V $\bold{^3}$

Está formada por tres vectores unitarios y perpendiculares entre sí. Estos vectores reciben la nomenclatura: $(\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})$

Ejemplo

Los vectores $\it{(\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})}$ forman una base canónica en V $^3$ 

Matemáticas; Vectores; 1. Bachillerato; Bases vectoriales y coordenadas en 3D

El vector $\overrightarrow{a}$ se puede expresar como combinación lineal: $\underline{\overrightarrow{a}=\overrightarrow{i}+3\overrightarrow{j}+2\overrightarrow{k}}$

Operaciones por coordenadas en V $\bold{^3}$

Sean dos vectores $\overrightarrow{u}=(u_1,u_2,u_3)$ y $\overrightarrow{v}=(v_1,v_2,v_3)$ se definen las siguientes operaciones:

Suma de vectores	$\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=(u_1+v_1,u_2+v_2,u_3+v_3)$
Producto escalar	$k\overrightarrow{u}=(k\overrightarrow{u_1},k\overrightarrow{u_2},k\overrightarrow{u_3})$