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Integrales indefinidas I: Definición y propiedades

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Docente: Gadea

Resumen

Integrales indefinidas I: Definición y propiedades

​​Integrales indefinidas

Sean f(x)f(x) f(x) y g(x)g(x)g(x) dos funciones. Si f(x)=g′(x)f(x)=g'(x) f(x)=g′(x) se dice que g(x)g(x)g(x) es una primitiva de f(x)f(x)f(x). La integral indefinida se representa por:


∫f(x)dx=g(x)+C ; C∈R\displaystyle\int f(x) dx=g(x) + C \space ; \space C \in \mathbb R∫f(x)dx=g(x)+C ; C∈R 


Donde f(x)f(x)f(x) es el integrando y dxdxdx​ la variable sobre la que se integra. 



Propiedades de las integrales indefinidas

​​En las integrales indefinidas se cumple que:


​∫(f(x)±g(x))dx=∫f(x)dx±∫g(x)dx\displaystyle\int (f(x) \pm g(x) ) dx = \int f(x)dx \pm \int g(x) dx ∫(f(x)±g(x))dx=∫f(x)dx±∫g(x)dx​

​​

​∫k ⋅ f(x)dx=k⋅∫f(x)dx, k∈R\displaystyle\int k\space ·\space f(x) dx = k\cdot\int f(x)dx,\ k \in\reals ∫k ⋅ f(x)dx=k⋅∫f(x)dx, k∈R

​​

Ejemplo 

Resuelve la siguiente integral indefinida utilizando las propiedades de estas:∫x2+2x dx\displaystyle\int x^2 +2x \space dx∫x2+2x dx​​

​

​∫x2+2x dx=∫x2dx+2⋅∫xdx=x33+2⋅x22+C=x33+x2+C‾\displaystyle\int x^2 +2x \space dx = \int x^2dx + 2\cdot\int x dx =\cfrac{x^3}{3} +2\cdot\cfrac {x^2}{2} + C= \underline{\cfrac{x^3}{3} + x^2 + C}∫x2+2x dx=∫x2dx+2⋅∫xdx=3x3​+2⋅2x2​+C=3x3​+x2+C​​​


Recuerda que: Si F(x)F(x)F(x) es una primitiva de f(x)f(x)f(x) en el intervalo (a,b)(a,b)(a,b), cualquier otra primitiva de f(x)f(x)f(x), tendrá la forma de F(x)+CF(x)+ CF(x)+C, es decir, la primitiva F(x)F(x) F(x) más una constante. ​

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Límites: Definición y tipos

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Límites: Definición y tipos

Tasa de variación: Media e instantánea

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Preguntas frecuentes

Dentro de una integral, ¿qué significa "dx"?

Esto indica la variable sobre la que se integra, en este caso sobre x. Si es dy se integrará sobre la variable y

¿Qué es una primitiva de una función?

Si f(x)=g'(x) entonces se dice que g(x) es una primitiva de f(x)

¿Cuáles son las propiedades de las primitivas?

La integral de la suma de dos funciones es igual a la suma de sus integrales La integral del producto de un número real por una función es igual al producto de ese número real por la integral de la función

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