Aplicaciones de la segunda derivada: Curvatura e inflexión

Curvatura y puntos de inflexión

Definición

Curvatura: es la posición relativa de una curva y sus tangentes en los distintos puntos de su dominio.
Puntos de inflexión: son los puntos en donde se produce el cambio de la posición relativa entre la curva y sus tangentes.

Ejemplo

Matemáticas; Derivadas; 1. Bachillerato; Aplicaciones de la segunda derivada: Curvatura e inflexión

Curvatura convexa

Si la curva está por encima de la tangente en el punto $P(a,f(a))$ , se dice que $f$ es convexa en ese punto.

Curvatura cóncava

Si la curva está por debajo de la tangente en $P(a,f(a))$ , se dice que $f$ es cóncava en ese punto.

Aplicaciones de la segunda derivada

Test de la segunda derivada para el cálculo de curvatura

$f '' (a)>0$	$f$ es convexa en ese punto
$f''(a)<0$	$f$ es cóncava en ese punto
$f''(a)=0$	No se puede asegurar nada

Ejemplo

Analiza la curvatura de la función ${\it f(x)=x^2}$ en el punto ${\it x=0}$ 

${ f(x)=x^2\implies f'(x)=2x\implies f´´(x)=2}\\{ f´´(0)=2\implies \rm \underline{ f\ es\ convexa\ en \ x=0}}$

Test de la segunda derivada para el cálculo de extremos relativos

Si $f´(a)=0$ , es decir, la tangente en $P(a,(f(a))$ es horizontal, entonces:

$f''(a)>0$	El punto $P(a,f(a))$ es un mínimo relativo
$f''(a)<0$	El punto $P(a,f(a))$ es un máximo relativo
$f''(a)=0$	Hay que estudiar el signo de a la izquierda y derecha de $a$

Ejemplo

Comprueba si el punto $x=0$ es un máximo o un mínimo relativo de la función ${\it f(x)=-x^2}$

${ f(x)=-x^2\implies f'(x)=-2x}\\{f'(0)=0\implies \rm \underline{En\ x=0 \ hay \ un \ extremo \ relativo}}\\{ f''(x)=-2\implies f''(0)=-2\implies \rm \underline{En\ x=0 \ hay \ un \ máximo \ relativo}}$