Aplicaciones de la segunda derivada: Curvatura e inflexión
Curvatura y puntos de inflexión
Definición
- Curvatura: es la posición relativa de una curva y sus tangentes en los distintos puntos de su dominio.
- Puntos de inflexión: son los puntos en donde se produce el cambio de la posición relativa entre la curva y sus tangentes.
Ejemplo
Curvatura convexa
Si la curva está por encima de la tangente en el punto P(a,f(a)), se dice que f es convexa en ese punto.
Curvatura cóncava
Si la curva está por debajo de la tangente en P(a,f(a)), se dice que f es cóncava en ese punto.
Aplicaciones de la segunda derivada
Test de la segunda derivada para el cálculo de curvatura
f′′(a)>0 | f es convexa en ese punto |
f′′(a)<0 | f es cóncava en ese punto |
f′′(a)=0 | No se puede asegurar nada |
Ejemplo
Analiza la curvatura de la función f(x)=x2 en el punto x=0
f(x)=x2⟹f′(x)=2x⟹f´´(x)=2f´´(0)=2⟹f es convexa en x=0
Test de la segunda derivada para el cálculo de extremos relativos
Si f´(a)=0, es decir, la tangente en P(a,(f(a)) es horizontal, entonces:
f′′(a)>0 | El punto P(a,f(a)) es un mínimo relativo |
f′′(a)<0 | El punto P(a,f(a)) es un máximo relativo |
f′′(a)=0 | Hay que estudiar el signo de a la izquierda y derecha de a |
Ejemplo
Comprueba si el punto x=0 es un máximo o un mínimo relativo de la función f(x)=−x2
f(x)=−x2⟹f′(x)=−2xf′(0)=0⟹En x=0 hay un extremo relativof′′(x)=−2⟹f′′(0)=−2⟹En x=0 hay un maˊximo relativo