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Aplicaciones de la segunda derivada: Curvatura e inflexión

​​Curvatura y puntos de inflexión

​​Definición

• Curvatura: es la posición relativa de una curva y sus tangentes en los distintos puntos de su dominio. 
  
• Puntos de inflexión: son los puntos en donde se produce el cambio de la posición relativa entre la curva y sus tangentes. 

Ejemplo

Curvatura convexa

Si la curva está por encima de la tangente en el punto $$P(a,f(a))$$, se dice que $$f$$ es convexa en ese punto.

Curvatura cóncava 

Si la curva está por debajo de la tangente en $$P(a,f(a))$$, se dice que $$f$$ es cóncava en ese punto.

Aplicaciones de la segunda derivada

Test de la segunda derivada para el cálculo de curvatura 

Ejemplo

Analiza la curvatura de la función $${\it f(x)=x^2}$$ en el punto $${\it x=0}$$​

​$${ f(x)=x^2\implies f'(x)=2x\implies f´´(x)=2}\\{ f´´(0)=2\implies \rm \underline{ f\ es\ convexa\ en \ x=0}}$$

Test de la segunda derivada para el cálculo de extremos relativos

Si $$f´(a)=0$$, es decir, la tangente en $$P(a,(f(a))$$ es horizontal, entonces:

Ejemplo

Comprueba si el punto  $$x=0$$ es un máximo o un mínimo relativo de la función $${\it f(x)=-x^2}$$

$${ f(x)=-x^2\implies f'(x)=-2x}\\{f'(0)=0\implies \rm \underline{En\ x=0 \ hay \ un \ extremo \ relativo}}\\{ f''(x)=-2\implies f''(0)=-2\implies \rm \underline{En\ x=0 \ hay \ un \ máximo \ relativo}}$$​​

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