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Aplicaciones de la segunda derivada: Curvatura e inflexión

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Sistemas de ecuaciones dependientes de parámetros

Vídeo Explicativo

Docente: Antonio

Resumen

​​

Aplicaciones de la segunda derivada: Curvatura e inflexión

​​Curvatura y puntos de inflexión

​​Definición

  • Curvatura: es la posición relativa de una curva y sus tangentes en los distintos puntos de su dominio. 
  • Puntos de inflexión: son los puntos en donde se produce el cambio de la posición relativa entre la curva y sus tangentes. 

Ejemplo
Matemáticas; Derivadas; 1. Bachillerato; Aplicaciones de la segunda derivada: Curvatura e inflexión


Curvatura convexa

Si la curva está por encima de la tangente en el punto P(a,f(a))P(a,f(a))P(a,f(a)), se dice que fff es convexa en ese punto.


Curvatura cóncava 

Si la curva está por debajo de la tangente en P(a,f(a))P(a,f(a))P(a,f(a)), se dice que fff es cóncava en ese punto.



Aplicaciones de la segunda derivada

Test de la segunda derivada para el cálculo de curvatura 

​f′′(a)>0f '' (a)>0f′′(a)>0​
​fff es convexa en ese punto​
​f′′(a)<0f''(a)<0f′′(a)<0​​
​fff es cóncava en ese punto​
​f′′(a)=0f''(a)=0f′′(a)=0​​
 No se puede asegurar nada


Ejemplo

Analiza la curvatura de la función f(x)=x2{\it f(x)=x^2}f(x)=x2 en el punto x=0{\it x=0}x=0​

​f(x)=x2 ⟹ f′(x)=2x ⟹ f´´(x)=2f´´(0)=2 ⟹ f es convexa en x=0‾{ f(x)=x^2\implies f'(x)=2x\implies f´´(x)=2}\\{ f´´(0)=2\implies \rm \underline{ f\ es\ convexa\ en \ x=0}} f(x)=x2⟹f′(x)=2x⟹f´´(x)=2f´´(0)=2⟹f es convexa en x=0​


Test de la segunda derivada para el cálculo de extremos relativos

Si f´(a)=0f´(a)=0f´(a)=0, es decir, la tangente en P(a,(f(a))P(a,(f(a))P(a,(f(a)) es horizontal, entonces:

​​f′′(a)>0f''(a)>0f′′(a)>0​​
El punto P(a,f(a))P(a,f(a))P(a,f(a)) es un mínimo relativo​
​f′′(a)<0f''(a)<0f′′(a)<0​
El punto P(a,f(a))P(a,f(a))P(a,f(a)) es un máximo relativo​
​f′′(a)=0f''(a)=0f′′(a)=0​
Hay que estudiar el signo de a la izquierda y derecha de aaa​​


Ejemplo

Comprueba si el punto  x=0x=0x=0 es un máximo o un mínimo relativo de la función f(x)=−x2{\it f(x)=-x^2}f(x)=−x2


f(x)=−x2 ⟹ f′(x)=−2xf′(0)=0 ⟹ En x=0 hay un extremo relativo‾f′′(x)=−2 ⟹ f′′(0)=−2 ⟹ En x=0 hay un maˊximo relativo‾{ f(x)=-x^2\implies f'(x)=-2x}\\{f'(0)=0\implies \rm \underline{En\ x=0 \ hay \ un \ extremo \ relativo}}\\{ f''(x)=-2\implies f''(0)=-2\implies \rm \underline{En\ x=0 \ hay \ un \ máximo \ relativo}} f(x)=−x2⟹f′(x)=−2xf′(0)=0⟹En x=0 hay un extremo relativo​f′′(x)=−2⟹f′′(0)=−2⟹En x=0 hay un maˊximo relativo​​​

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Curvatura y puntos de inflexión de una función

Unidad 1

Curvatura y puntos de inflexión de una función

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Preguntas frecuentes

¿Cómo se puede medir la curvatura de una función en punto?

A través del signo de la segunda derivada de la función en ese punto

¿En qué consiste el test de la segunda derivada para extremos relativos?

Partiendo de los puntos en los que la primera derivada sea igual a 0, el test confirma, a través de la segunda derivada en ese punto, si el extremo relativo es un máximo o un mínimo

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