Integración de funciones trigonométricas Productos o cocientes de potencias enteras de senos y cosenos Al menos una función con exponente impar Si una de las dos funciones tiene exponente impar, se utiliza la otra para el cambio de variable
Ejemplo Resuelve la siguiente integral: ∫ sin 5 x ⋅ c o s 2 x d x \it\displaystyle\int\sin^5 x\cdot cos^2 x\ dx ∫ sin 5 x ⋅ co s 2 x d x
Como sin 5 x \it\sin^5 x sin 5 x tiene exponente impar, elegimos como cambio de variable
cos x = t d x = − d t sin x \it \cos x=t\qquad dx=\cfrac{-dt}{\sin x} cos x = t dx = sin x − dt .
Después, introducimos el cambio de variable dentro de la integral, simplificamos utilizando identidades trigonométricas y resolvemos la integral en función de t t t .
∫ sin 5 x − c o s 2 x d x = − ∫ sin 5 x ⋅ t 2 sin x d t = − ∫ sin 4 x ⋅ t 2 d t = − ∫ ( 1 − cos 2 x ) 2 ⋅ t 2 d t = = − ∫ ( 1 − t 2 ) 2 ⋅ t 2 d t = − ∫ t 2 − 2 t 4 + t 6 d t = − t 3 3 + 2 t 5 5 − t 7 7 + C {\displaystyle\int\sin^5x-cos^2x\ dx=-\displaystyle\int \cfrac{\sin^5 x\cdot t^2}{\sin x}\ dt=-\displaystyle\int \sin^4x\cdot t^2\ dt=-\displaystyle\int(1-\cos^2x)^2\cdot t^2\ dt=}\\{=-\displaystyle\int(1-t^2)^2\cdot t^2\ dt=-\displaystyle\int t^2-2t^4+t^6\ dt=\cfrac{-t^3}{3}+\cfrac{2t^5}{5}-\cfrac{t^7}{7}+C} ∫ sin 5 x − co s 2 x d x = − ∫ sin x sin 5 x ⋅ t 2 d t = − ∫ sin 4 x ⋅ t 2 d t = − ∫ ( 1 − cos 2 x ) 2 ⋅ t 2 d t = = − ∫ ( 1 − t 2 ) 2 ⋅ t 2 d t = − ∫ t 2 − 2 t 4 + t 6 d t = 3 − t 3 + 5 2 t 5 − 7 t 7 + C
Por último, deshacemos el cambio de variable y obtenemos
− t 3 3 + 2 t 5 5 − t 7 7 + C = − cos 3 x 3 + 2 cos 5 x 5 − cos 7 x 7 + C ∫ sin 5 x ⋅ cos 2 x d x = − cos 3 x 3 + 2 cos 5 x 5 − cos 7 x 7 + C ‾ {\cfrac{-t^3}{3}+\cfrac{2t^5}{5}-\cfrac{t^7}{7}+C=\cfrac{-\cos^3x}{3}+\cfrac{2\cos^5x}{5}-\cfrac{\cos^7x}{7}+C}\\\hspace{5mm}\\{\displaystyle\int\sin^5 x\cdot \cos^2 x\ dx=\underline{\cfrac{-\cos^3x}{3}+\cfrac{2\cos^5x}{5}-\cfrac{\cos^7x}{7}+C}} 3 − t 3 + 5 2 t 5 − 7 t 7 + C = 3 − cos 3 x + 5 2 cos 5 x − 7 cos 7 x + C ∫ sin 5 x ⋅ cos 2 x d x = 3 − cos 3 x + 5 2 cos 5 x − 7 cos 7 x + C
Dos funciones con exponente par Si los exponentes de las funciones son pares, se utiliza el cambio tg ( x ) = t \tg(x)=t tg ( x ) = t
Ejemplo Resuelve la siguiente integral: ∫ sin 2 x cos 4 x d x {\it \displaystyle\int\cfrac{\sin^2x}{\cos^4x}\ dx} ∫ cos 4 x sin 2 x d x
Como ambas funciones tienen exponente par, elegimos como cambio de variable:
t g ( x ) = t d x = cos 2 x ⋅ d t {\it tg(x)=t\qquad dx=\cos^2x\cdot dt} tg ( x ) = t dx = cos 2 x ⋅ dt
Después, introducimos el cambio de variable dentro de la integral, simplificamos identidades trigonométricas y resolvemos en función de t t t :
∫ sin 2 x cos 4 x d x = ∫ tg 2 x 1 cos 2 x d x = ∫ t 2 ⋅ cos 2 x cos 2 x d t = ∫ t 2 d t = t 3 3 + C {\it \displaystyle\int\cfrac{\sin^2 x}{\cos^4x}\ dx=\displaystyle\int\tg^2x\cfrac{1}{\cos^2x}\ dx=\displaystyle\int t^2\cdot \cfrac{\cos^2x}{\cos^2x}\ dt=\displaystyle\int t^2\ dt=\cfrac{t^3}{3} + C} ∫ cos 4 x sin 2 x d x = ∫ tg 2 x cos 2 x 1 d x = ∫ t 2 ⋅ cos 2 x cos 2 x d t = ∫ t 2 d t = 3 t 3 + C
Por último, deshacemos le cambio de variable y obtenemos:
t 3 3 + C = tg 3 x 3 + C ∫ sin 2 x cos 4 x d x = tg 3 x 3 + C ‾ {\cfrac{t^3}{3}+C=\cfrac{\tg^3 x}{3}+C}\\\hspace{5mm}\\\displaystyle\int\cfrac{\sin^2x}{\cos^4 x}\ dx=\underline{\cfrac{\tg^3x}{3}+C} 3 t 3 + C = 3 tg 3 x + C ∫ cos 4 x sin 2 x d x = 3 tg 3 x + C
Cociente de polinomios en las variables seno y coseno Ten en cuenta que el cambio de variable tg x 2 = t \tg\cfrac{x}{2}=t tg 2 x = t y d x = 2 d t 1 + t 2 dx=\cfrac{2dt}{1+t^2} d x = 1 + t 2 2 d t permite escribir sin x \sin x sin x y cos x \cos x cos x en forma de funciones racionales de t t t , tal y como se muestra a continuación:
sin x = 2 sin x 2 cos x 2 = 2 sin x 2 cos x 2 sin 2 x 2 + cos 2 x 2 = 2 tg x 2 1 + tg 2 x 2 cos x = cos 2 x 2 − sin 2 x 2 = cos 2 x 2 − sin 2 x 2 sin 2 x 2 + cos 2 x 2 = 1 − tg 2 x 2 1 + tg 2 x 2 \sin x=2\sin\cfrac{x}{2}\cos\cfrac{x}{2}=\cfrac{2\sin\cfrac{x}{2}\cos\cfrac{x}{2}}{\sin^2\cfrac{x}{2}+\cos^2\cfrac{x}{2}}=\cfrac{2\tg\cfrac{x}{2}}{1+\tg^2\cfrac{x}{2}}\\\quad\\\cos x=\cos^2\cfrac{x}{2}-\sin^2\cfrac{x}{2}=\cfrac{\cos^2\cfrac{x}{2}-\sin^2\cfrac{x}{2}}{\sin^2\cfrac{x}{2}+\cos^2\cfrac{x}{2}}=\cfrac{1-\tg^2\cfrac{x}{2}}{1+\tg^2\cfrac{x}{2}} sin x = 2 sin 2 x cos 2 x = sin 2 2 x + cos 2 2 x 2 sin 2 x cos 2 x = 1 + tg 2 2 x 2 tg 2 x cos x = cos 2 2 x − sin 2 2 x = sin 2 2 x + cos 2 2 x cos 2 2 x − sin 2 2 x = 1 + tg 2 2 x 1 − tg 2 2 x
Ejemplo Resuelve la siguiente integral: ∫ 1 3 − cos x d x {\it \displaystyle\int\cfrac{1}{3-\cos x}\ dx} ∫ 3 − cos x 1 d x
Como estamos ante un cociente de polinomios en la variable cos x \cos x cos x , elegimos como cambio de variable:
tg x 2 = t d x = 2 d t 1 + t 2 {\tg\cfrac{x}{2}=t\qquad dx=\cfrac{2\ dt}{1+t^2}} tg 2 x = t d x = 1 + t 2 2 d t
Después, introducimos el cambio de variable dentro de la integral, simplificamos y resolvemos la integral en función de t t t :
∫ 1 3 − cos x d x = ∫ 2 d t ( 3 − 1 − t 2 1 + t 2 ) ⋅ ( 1 + t 2 ) d t = ∫ 2 d t 4 t 2 + 1 d t = arctg ( 2 t ) 2 + C {\it\displaystyle\int\cfrac{1}{3-\cos x}\ dx=\displaystyle\int\cfrac{2dt}{\left (3-\cfrac{1-t^2}{1+t^2}\right)\cdot (1+t^2)}\ dt=\displaystyle\int\cfrac{2dt}{4t^2+1}\ dt=\cfrac{\arctg(\sqrt2 t)}{\sqrt2}+C} ∫ 3 − cos x 1 d x = ∫ ( 3 − 1 + t 2 1 − t 2 ) ⋅ ( 1 + t 2 ) 2 d t d t = ∫ 4 t 2 + 1 2 d t d t = 2 arctg ( 2 t ) + C
Por último deshacemos el cambio de variable y obtenemos:
arctg ( 2 t ) 2 + C = arctg ( 2 tg x 2 ) 2 + C ∫ 1 3 − cos x d x = arctg ( 2 tg x 2 ) 2 + C {\cfrac{\arctg\left(\sqrt2 t\right)}{\sqrt2}+C=\cfrac{\arctg\left(\sqrt2 \tg \cfrac{x}{2}\right)}{\sqrt2}+C}\\{\displaystyle\int\cfrac{1}{3-\cos x}\ dx=\cfrac{\arctg\left(\sqrt2 \tg \cfrac{x}{2}\right)}{\sqrt2}+C} 2 arctg ( 2 t ) + C = 2 arctg ( 2 tg 2 x ) + C ∫ 3 − cos x 1 d x = 2 arctg ( 2 tg 2 x ) + C