Integración de funciones trigonométricas

Productos o cocientes de potencias enteras de senos y cosenos

Al menos una función con exponente impar

Si una de las dos funciones tiene exponente impar, se utiliza la otra para el cambio de variable

Ejemplo

Resuelve la siguiente integral: $\it\displaystyle\int\sin^5 x\cdot cos^2 x\ dx$

Como $\it\sin^5 x$ tiene exponente impar, elegimos como cambio de variable

$\it \cos x=t\qquad dx=\cfrac{-dt}{\sin x}$ .

Después, introducimos el cambio de variable dentro de la integral, simplificamos utilizando identidades trigonométricas y resolvemos la integral en función de $t$ .

${\displaystyle\int\sin^5x-cos^2x\ dx=-\displaystyle\int \cfrac{\sin^5 x\cdot t^2}{\sin x}\ dt=-\displaystyle\int \sin^4x\cdot t^2\ dt=-\displaystyle\int(1-\cos^2x)^2\cdot t^2\ dt=}\\{=-\displaystyle\int(1-t^2)^2\cdot t^2\ dt=-\displaystyle\int t^2-2t^4+t^6\ dt=\cfrac{-t^3}{3}+\cfrac{2t^5}{5}-\cfrac{t^7}{7}+C}$

Por último, deshacemos el cambio de variable y obtenemos

${\cfrac{-t^3}{3}+\cfrac{2t^5}{5}-\cfrac{t^7}{7}+C=\cfrac{-\cos^3x}{3}+\cfrac{2\cos^5x}{5}-\cfrac{\cos^7x}{7}+C}\\\hspace{5mm}\\{\displaystyle\int\sin^5 x\cdot \cos^2 x\ dx=\underline{\cfrac{-\cos^3x}{3}+\cfrac{2\cos^5x}{5}-\cfrac{\cos^7x}{7}+C}}$

Dos funciones con exponente par

Si los exponentes de las funciones son pares, se utiliza el cambio $\tg(x)=t$

Ejemplo

Resuelve la siguiente integral: ${\it \displaystyle\int\cfrac{\sin^2x}{\cos^4x}\ dx}$

Como ambas funciones tienen exponente par, elegimos como cambio de variable:

${\it tg(x)=t\qquad dx=\cos^2x\cdot dt}$

Después, introducimos el cambio de variable dentro de la integral, simplificamos identidades trigonométricas y resolvemos en función de $t$ :

${\it \displaystyle\int\cfrac{\sin^2 x}{\cos^4x}\ dx=\displaystyle\int\tg^2x\cfrac{1}{\cos^2x}\ dx=\displaystyle\int t^2\cdot \cfrac{\cos^2x}{\cos^2x}\ dt=\displaystyle\int t^2\ dt=\cfrac{t^3}{3} + C}$

Por último, deshacemos le cambio de variable y obtenemos:

${\cfrac{t^3}{3}+C=\cfrac{\tg^3 x}{3}+C}\\\hspace{5mm}\\\displaystyle\int\cfrac{\sin^2x}{\cos^4 x}\ dx=\underline{\cfrac{\tg^3x}{3}+C}$

Cociente de polinomios en las variables seno y coseno

Ten en cuenta que el cambio de variable $\tg\cfrac{x}{2}=t$ y $dx=\cfrac{2dt}{1+t^2}$ permite escribir $\sin x$ y $\cos x$ en forma de funciones racionales de $t$ , tal y como se muestra a continuación:

$\sin x=2\sin\cfrac{x}{2}\cos\cfrac{x}{2}=\cfrac{2\sin\cfrac{x}{2}\cos\cfrac{x}{2}}{\sin^2\cfrac{x}{2}+\cos^2\cfrac{x}{2}}=\cfrac{2\tg\cfrac{x}{2}}{1+\tg^2\cfrac{x}{2}}\\\quad\\\cos x=\cos^2\cfrac{x}{2}-\sin^2\cfrac{x}{2}=\cfrac{\cos^2\cfrac{x}{2}-\sin^2\cfrac{x}{2}}{\sin^2\cfrac{x}{2}+\cos^2\cfrac{x}{2}}=\cfrac{1-\tg^2\cfrac{x}{2}}{1+\tg^2\cfrac{x}{2}}$

Ejemplo

Resuelve la siguiente integral: ${\it \displaystyle\int\cfrac{1}{3-\cos x}\ dx}$

Como estamos ante un cociente de polinomios en la variable $\cos x$ , elegimos como cambio de variable:

${\tg\cfrac{x}{2}=t\qquad dx=\cfrac{2\ dt}{1+t^2}}$

Después, introducimos el cambio de variable dentro de la integral, simplificamos y resolvemos la integral en función de $t$ :

${\it\displaystyle\int\cfrac{1}{3-\cos x}\ dx=\displaystyle\int\cfrac{2dt}{\left (3-\cfrac{1-t^2}{1+t^2}\right)\cdot (1+t^2)}\ dt=\displaystyle\int\cfrac{2dt}{4t^2+1}\ dt=\cfrac{\arctg(\sqrt2 t)}{\sqrt2}+C}$

Por último deshacemos el cambio de variable y obtenemos:

${\cfrac{\arctg\left(\sqrt2 t\right)}{\sqrt2}+C=\cfrac{\arctg\left(\sqrt2 \tg \cfrac{x}{2}\right)}{\sqrt2}+C}\\{\displaystyle\int\cfrac{1}{3-\cos x}\ dx=\cfrac{\arctg\left(\sqrt2 \tg \cfrac{x}{2}\right)}{\sqrt2}+C}$