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Integración de funciones trigonométricas

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Docente: Antonio

Resumen

Integración de funciones trigonométricas

Productos o cocientes de potencias enteras de  senos y cosenos

Al menos una función con exponente impar

Si una de las dos funciones tiene exponente impar, se utiliza la otra para el cambio de variable 


Ejemplo

Resuelve la siguiente integral: sin5xcos2x dx\it\displaystyle\int\sin^5 x\cdot cos^2 x\ dx


Como sin5x\it\sin^5 x tiene exponente impar, elegimos como cambio de variable


  cosx=tdx=dtsinx\it \cos x=t\qquad dx=\cfrac{-dt}{\sin x}.


Después, introducimos el cambio de variable dentro de la integral, simplificamos utilizando identidades trigonométricas y resolvemos la integral en función de tt.


sin5xcos2x dx=sin5xt2sinx dt=sin4xt2 dt=(1cos2x)2t2 dt==(1t2)2t2 dt=t22t4+t6 dt=t33+2t55t77+C{\displaystyle\int\sin^5x-cos^2x\ dx=-\displaystyle\int \cfrac{\sin^5 x\cdot t^2}{\sin x}\ dt=-\displaystyle\int \sin^4x\cdot t^2\ dt=-\displaystyle\int(1-\cos^2x)^2\cdot t^2\ dt=}\\{=-\displaystyle\int(1-t^2)^2\cdot t^2\ dt=-\displaystyle\int t^2-2t^4+t^6\ dt=\cfrac{-t^3}{3}+\cfrac{2t^5}{5}-\cfrac{t^7}{7}+C}


Por último, deshacemos el cambio de variable y obtenemos 


t33+2t55t77+C=cos3x3+2cos5x5cos7x7+Csin5xcos2x dx=cos3x3+2cos5x5cos7x7+C{\cfrac{-t^3}{3}+\cfrac{2t^5}{5}-\cfrac{t^7}{7}+C=\cfrac{-\cos^3x}{3}+\cfrac{2\cos^5x}{5}-\cfrac{\cos^7x}{7}+C}\\\hspace{5mm}\\{\displaystyle\int\sin^5 x\cdot \cos^2 x\ dx=\underline{\cfrac{-\cos^3x}{3}+\cfrac{2\cos^5x}{5}-\cfrac{\cos^7x}{7}+C}}


​​

Dos funciones con exponente par

Si los exponentes de las funciones son pares, se utiliza el cambio tg(x)=t\tg(x)=t


Ejemplo

Resuelve la siguiente integral: sin2xcos4x dx{\it \displaystyle\int\cfrac{\sin^2x}{\cos^4x}\ dx}


Como ambas funciones tienen exponente par, elegimos como cambio de variable:


tg(x)=tdx=cos2xdt{\it tg(x)=t\qquad dx=\cos^2x\cdot dt}


Después, introducimos el cambio de variable dentro de la integral, simplificamos identidades trigonométricas y resolvemos en función de tt:


sin2xcos4x dx=tg2x1cos2x dx=t2cos2xcos2x dt=t2 dt=t33+C{\it \displaystyle\int\cfrac{\sin^2 x}{\cos^4x}\ dx=\displaystyle\int\tg^2x\cfrac{1}{\cos^2x}\ dx=\displaystyle\int t^2\cdot \cfrac{\cos^2x}{\cos^2x}\ dt=\displaystyle\int t^2\ dt=\cfrac{t^3}{3} + C}


Por último, deshacemos le cambio de variable y obtenemos:


t33+C=tg3x3+Csin2xcos4x dx=tg3x3+C{\cfrac{t^3}{3}+C=\cfrac{\tg^3 x}{3}+C}\\\hspace{5mm}\\\displaystyle\int\cfrac{\sin^2x}{\cos^4 x}\ dx=\underline{\cfrac{\tg^3x}{3}+C}​​​


Cociente de polinomios en las variables  seno y coseno

 Ten en cuenta que el cambio de variable tgx2=t\tg\cfrac{x}{2}=t  y dx=2dt1+t2dx=\cfrac{2dt}{1+t^2}​ permite escribir sinx\sin x  y cosx\cos x en forma de funciones racionales de tt, tal y como se muestra a continuación:


sinx=2sinx2cosx2=2sinx2cosx2sin2x2+cos2x2=2tgx21+tg2x2cosx=cos2x2sin2x2=cos2x2sin2x2sin2x2+cos2x2=1tg2x21+tg2x2\sin x=2\sin\cfrac{x}{2}\cos\cfrac{x}{2}=\cfrac{2\sin\cfrac{x}{2}\cos\cfrac{x}{2}}{\sin^2\cfrac{x}{2}+\cos^2\cfrac{x}{2}}=\cfrac{2\tg\cfrac{x}{2}}{1+\tg^2\cfrac{x}{2}}\\\quad\\\cos x=\cos^2\cfrac{x}{2}-\sin^2\cfrac{x}{2}=\cfrac{\cos^2\cfrac{x}{2}-\sin^2\cfrac{x}{2}}{\sin^2\cfrac{x}{2}+\cos^2\cfrac{x}{2}}=\cfrac{1-\tg^2\cfrac{x}{2}}{1+\tg^2\cfrac{x}{2}}​​


Ejemplo

Resuelve la siguiente integral: 13cosx dx{\it \displaystyle\int\cfrac{1}{3-\cos x}\ dx}


Como estamos ante un cociente de polinomios en la variable cosx\cos x​ , elegimos como cambio de variable:


tgx2=tdx=2 dt1+t2{\tg\cfrac{x}{2}=t\qquad dx=\cfrac{2\ dt}{1+t^2}}​​


Después, introducimos el cambio de variable dentro de la integral, simplificamos y resolvemos la integral en función de tt:


13cosx dx=2dt(31t21+t2)(1+t2) dt=2dt4t2+1 dt=arctg(2t)2+C{\it\displaystyle\int\cfrac{1}{3-\cos x}\ dx=\displaystyle\int\cfrac{2dt}{\left (3-\cfrac{1-t^2}{1+t^2}\right)\cdot (1+t^2)}\ dt=\displaystyle\int\cfrac{2dt}{4t^2+1}\ dt=\cfrac{\arctg(\sqrt2 t)}{\sqrt2}+C}​​


Por último deshacemos el cambio de variable y obtenemos:


arctg(2t)2+C=arctg(2tgx2)2+C13cosx dx=arctg(2tgx2)2+C{\cfrac{\arctg\left(\sqrt2 t\right)}{\sqrt2}+C=\cfrac{\arctg\left(\sqrt2 \tg \cfrac{x}{2}\right)}{\sqrt2}+C}\\{\displaystyle\int\cfrac{1}{3-\cos x}\ dx=\cfrac{\arctg\left(\sqrt2 \tg \cfrac{x}{2}\right)}{\sqrt2}+C}



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¿Cuáles son las integrales trigonométricas?

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