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Resumen del capítulo

Objetivos de aprendizaje

Matemáticas

Sistemas de ecuaciones

Sistemas de ecuaciones lineales con tres incógnitas

Método de Gauss: Resolución de sistemas de ecuaciones lineales

Resolución de un sistema lineal como ecuación matricial

Regla de Cramer: Resolución de sistemas compatibles determinados

Teorema de Rouché-Frobenius: Discusión de sistemas

Sistemas homogéneos: Características y propiedades

Sistemas de ecuaciones dependientes de parámetros

Matrices

Matrices: Definición y tipos

Cálculo matricial: Suma y producto de matrices

Rango de una matriz: Definición y cómo calcularlo

Método de Gauss: Obtención de una matriz triangular

Inversa de una matriz: Cálculo y propiedades

Inversa de una matriz: Método de Gauss-Jordan

Determinantes

Introducción a los determinantes

Propiedades de los determinantes

Cálculo de determinantes

Aplicación de determinantes: Rango y matriz inversa

Ecuaciones matriciales: Resolución y propiedades

Funciones

Funciones: Definición y tipos

Asíntotas verticales, horizontales y oblicuas

Límites de funciones y tipos de continuidad

Simetría de las funciones: Par e Impar

Puntos de corte con los ejes y signo de una función

Monotonía y puntos extremos de una función

Curvatura y puntos de inflexión de una función

Tendencia y periodicidad de una función

Continuidad de una función: Teorema de Bolzano

Continuidad de una función: Teorema de Darboux

Continuidad de una función: Teorema de Weierstrass

Límites

Límites: Definición y tipos

Propiedades y cálculo de límites

Límites indeterminados: Indeterminaciones

Indeterminaciones: Regla de l'Hòpital

Representación de funciones

Funciones polinómicas: Análisis y representación

Funciones racionales: Análisis y representación

Funciones irracionales: Análisis y representación

Función valor absoluto: Análisis y representación

Función exponencial: Análisis y representación

Función logarítmica: Análisis y representación

Funciones trigonométricas: Análisis y representación

Funciones trigonométricas inversas: Análisis y representación

Construcción de funciones: Traslación y dilatación

Derivadas

Tasa de variación: Media e instantánea

Continuidad y derivabilidad de una función

Cálculo de derivadas: Reglas de derivación

Cálculo de derivadas: Regla de la cadena

Aplicaciones de la segunda derivada: Curvatura e inflexión

Derivada de la función inversa

Derivada de la función potencial

Derivada de la función exponencial

Derivada de la función logarítmica

Derivada de las funciones trigonométricas

Derivadas y monotonía de una función

Estudio de derivadas: Teorema de Rolle

Estudio de derivadas: Teorema del Valor Medio

Aplicación de las derivadas: Problemas de optimización

Integrales

Integrales indefinidas I: Definición y propiedades

Integrales indefinidas II: Inmediatas

Integración por partes del producto de funciones

Integración de funciones racionales

Integración de funciones por cambio de variable

Integración de funciones trigonométricas

Integrales no elementales: Teorema de Liouvillle

Integrales definidas

Integrales definidas: Propiedades

Cálculo de integrales definidas: Regla de Barrow

Estudio de integrales: Teorema del valor medio

Función integral: Teorema fundamental del cálculo:

Aplicaciones de las integrales: Cálculo de áreas

Otras aplicaciones de las integrales: Longitudes y volúmenes

Sucesiones

Sucesiones de números reales

Límites de las sucesiones

Convergencia de sucesiones

Vectores

Vectores: Definición, elementos y tipos

Bases vectoriales y coordenadas en 2D

Bases vectoriales y coordenadas en 3D

Operaciones con vectores: Suma, resta y producto

Componentes de un vector, módulo y argumento

Dependencia y combinación lineal en 3D

Operaciones con vectores: Producto escalar

Operaciones con vectores: Producto vectorial

Operaciones con vectores: Producto mixto

Rectas

Ecuación vectorial de la recta en 2D y 3D

Otras ecuaciones de la recta en 2D y 3D

Posición relativa de dos rectas en 2D y 3D

Intersección de dos rectas en 2D y 3D

Lugares geométricos de la recta: Mediatriz y bisectriz

Planos

Ecuaciones del plano: Vectorial, paramétrica e implícita

Otras ecuaciones del plano

Posición relativa entre recta y plano en el espacio

Posición relativa entre planos en el espacio

Áreas y volúmenes

Cálculo de áreas y volúmenes con vectores

Probabilidad

Experimentos aleatorios, espacio muestral y sucesos

Frecuencia y probabilidad de un suceso

Propiedades de la probabilística de sucesos

Asignación de probabilidades en el espacio muestral

Probabilidad condicionada: Regla de la multiplicación

Dependencia e independencia de sucesos

Teorema de la probabilidad total

Teorema de Bayes: Probabilidades "a priori"

Combinatoria

Permutaciones con y sin repetición

Variaciones con y sin repetición

Combinaciones y números combinatorios

Binomio de Newton: Potencias de un binomio

Distribución estadística

Variables aleatorias: Función de masa, esperanza y varianza

Distribución de Bernoulli y binomial: Características

Distribuciones continuas: Características

Distribución normal: Características

Tipificación de la variable normal

Aproximación de la binomial por la normal

Matemáticas

Variables aleatorias: Función de masa, esperanza y varianza

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Resumen

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Variables aleatorias: Función de masa, esperanza y varianza

Introducción

Para analizar el resultado de un experimento, se le puede asignar un número real a cada suceso. Este número es la variable aleatoria y es especialmente útil cunado quieres estudiar variables cualitativas.

Ejemplo

Al lanzar una moneda, se le puede asignar el valor $1$  a sacar cara y $0$ a sacar cruz. De esta manera puedes cuantificar dos variables cualitativas.

Las variables aleatorias pueden ser discretas si usan números naturales. Son continuas si pueden tomar infinitos valores comprendidos en un intervalo.

Ejemplo

En el experimento "tirar una moneda hasta que salga cara" la variable aleatoria es discreta porque puede ser en el lanzamiento $1, 2, 3$ ... Si se escoge una persona y se toma su estatura, este número puede ser cualquiera entre un intervalo $[150,200]\space cm$ , en teoría con infinitos decimales, por lo tanto es una variable aleatoria continua.

Función de masa de probabilidad

Es la función de una variable aleatoria discreta que asigna a cada valor $x_j$ su probabilidad $X$ .

$f(x_j)=p_j=P(X=x_j)$

Debe cumplirse $p_j\geq0$ y $\displaystyle\sum_{j=1}p_j=1$

Ejemplo

En el experimento "tirar dos veces una moneda" el espacio muestral es $E=(CC,CX,XC,XX)$ . La probabilidad del subconjunto $A=$ "sacar al menos una cara" es:

$\underline{P(A)=P(X=1)+P(X=2)=0,5+0,25=0,75}$

Distribución de probabilidad

Está formada por todos los valores de la variable (eje $X$ ) y su probabilidad (eje $Y$ ) representados en un diagrama de barras.

Esperanza y varianza

La distribución puede describirse con parámetros de posición (media o esperanza) y de dispersión (varianza y desviación típica).

Media o esperanza matemática: $\mu =E[X]=\displaystyle\sum_{j=1}^k x_jp_j$
Varianza: $\sigma^2=Var(X)=\displaystyle\sum_{j=1}^k x^2_jp_j-\mu^2$

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Variables aleatorias: Función de masa, esperanza y varianza

Variables aleatorias: Función de masa, esperanza y varianza

Introducción

Ejemplo

Ejemplo

Función de masa de probabilidad

Ejemplo

Distribución de probabilidad

Esperanza y varianza