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Dependencia y combinación lineal en 3D

Dependencia y combinación lineal en 3D

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Docente: Jorge

Resumen

Dependencia y combinación lineal en 3D

Combinación lineal

Un vector w\overrightarrow{w} es combinación lineal de otros nn vectores si se puede expresar a partir de ellos:

w=α1u1+α2u2+...αnun\overrightarrow{w}=\alpha_1\overrightarrow{u_1}+\alpha_2\overrightarrow{u_2}+...\alpha_n\overrightarrow{u_n}



Dependencia lineal

Un vector w\overrightarrow{w} depende linealmente de un conjunto u1,u2...un\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2}...\overrightarrow{u_n} si se puede escribir como combinación lineal de estos.


Ejemplo

Se puede expresar el vector w\overrightarrow{w} como:  w=αu1+βu2+γu3\overrightarrow{w}=\alpha\overrightarrow{u_1}+\beta\overrightarrow{u_2}+\gamma\overrightarrow{u_3} 

Matemáticas; Vectores; 2. Bachillerato; Dependencia y combinación lineal en 3D

Estudio de la dependencia lineal

Para comprobar la independencia lineal de tres vectores se resuelve el siguiente determinante:

u1u2u3v1v2v3w1w2w3\it{\begin{vmatrix*}[r] \overrightarrow{u_1} & \overrightarrow{u_2} & \overrightarrow{u_3}\\ \overrightarrow{v_1} & \overrightarrow{v_2} & \overrightarrow{v_3}\\ \overrightarrow{w_1} & \overrightarrow{w_2} & \overrightarrow{w_3}\end{vmatrix*}}​​


Si el determinante es distinto de cero los vectores son linealmente independientes.


Ejemplo

Verifica si los vectores u=(1,3,5)\overrightarrow{u}=(1,3,5) , v=(5,2,1)\overrightarrow{v}=(5,2,-1) y w=(0,1,2)\overrightarrow{w}=(0,-1,2) son linealmente dependientes o no.

Calculando el determinante:

135521012=52\begin{vmatrix*}[r] 1 & 3& 5\\ 5 &2& -1\\ 0 & 1& -2\end{vmatrix*}=52  


Al ser no nulo los tres vectores son linealmente independientes.


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Ejercicios

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Preguntas frecuentes

¿Qué significa que tres vectores son linealmente dependientes?

¿Qué es la combinación lineal de tres vectores?

¿Cómo saber si tres vectores son linealmente dependientes?