Dependencia y combinación lineal en 3D

Combinación lineal

​Un vector $$\overrightarrow{w}$$​ es combinación lineal de otros $$n$$​ vectores si se puede expresar a partir de ellos:

$$\overrightarrow{w}=\alpha_1\overrightarrow{u_1}+\alpha_2\overrightarrow{u_2}+...\alpha_n\overrightarrow{u_n}$$

Dependencia lineal

Un vector $$\overrightarrow{w}$$ depende linealmente de un conjunto $$\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2}...\overrightarrow{u_n}$$ si se puede escribir como combinación lineal de estos.

Ejemplo

Se puede expresar el vector $$\overrightarrow{w}$$ como:  $$\overrightarrow{w}=\alpha\overrightarrow{u_1}+\beta\overrightarrow{u_2}+\gamma\overrightarrow{u_3}$$ 

Estudio de la dependencia lineal

Para comprobar la independencia lineal de tres vectores se resuelve el siguiente determinante:

​$$\it{\begin{vmatrix*}[r] \overrightarrow{u_1} & \overrightarrow{u_2} & \overrightarrow{u_3}\\ \overrightarrow{v_1} & \overrightarrow{v_2} & \overrightarrow{v_3}\\ \overrightarrow{w_1} & \overrightarrow{w_2} & \overrightarrow{w_3}\end{vmatrix*}}$$​​

Si el determinante es distinto de cero los vectores son linealmente independientes.

Ejemplo

Verifica si los vectores $$\overrightarrow{u}=(1,3,5)$$ , $$\overrightarrow{v}=(5,2,-1)$$ y $$\overrightarrow{w}=(0,-1,2)$$ son linealmente dependientes o no.

Calculando el determinante:

$$\begin{vmatrix*}[r] 1 & 3& 5\\ 5 &2& -1\\ 0 & 1& -2\end{vmatrix*}=52$$  

Al ser no nulo los tres vectores son linealmente independientes.