Dependencia y combinación lineal en 3D

Combinación lineal

Un vector $\overrightarrow{w}$ es combinación lineal de otros $n$ vectores si se puede expresar a partir de ellos:

$\overrightarrow{w}=\alpha_1\overrightarrow{u_1}+\alpha_2\overrightarrow{u_2}+...\alpha_n\overrightarrow{u_n}$

Dependencia lineal

Un vector $\overrightarrow{w}$ depende linealmente de un conjunto $\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2}...\overrightarrow{u_n}$ si se puede escribir como combinación lineal de estos.

Ejemplo

Se puede expresar el vector $\overrightarrow{w}$ como: $\overrightarrow{w}=\alpha\overrightarrow{u_1}+\beta\overrightarrow{u_2}+\gamma\overrightarrow{u_3}$

Matemáticas; Vectores; 2. Bachillerato; Dependencia y combinación lineal en 3D

Estudio de la dependencia lineal

Para comprobar la independencia lineal de tres vectores se resuelve el siguiente determinante:

$\it{\begin{vmatrix*}[r] \overrightarrow{u_1} & \overrightarrow{u_2} & \overrightarrow{u_3}\\ \overrightarrow{v_1} & \overrightarrow{v_2} & \overrightarrow{v_3}\\ \overrightarrow{w_1} & \overrightarrow{w_2} & \overrightarrow{w_3}\end{vmatrix*}}$

Si el determinante es distinto de cero los vectores son linealmente independientes.

Ejemplo

Verifica si los vectores $\overrightarrow{u}=(1,3,5)$ , $\overrightarrow{v}=(5,2,-1)$ y $\overrightarrow{w}=(0,-1,2)$ son linealmente dependientes o no.

Calculando el determinante:

$\begin{vmatrix*}[r] 1 & 3& 5\\ 5 &2& -1\\ 0 & 1& -2\end{vmatrix*}=52$

Al ser no nulo los tres vectores son linealmente independientes.