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Matemáticas

Monotonía y puntos extremos de una función

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Monotonía y puntos extremos de una función

Monotonía

Cuando se habla de monotonía de una función se hace referencia al crecimiento y decrecimiento de dicha función a lo largo de su dominio.


Cálculo del crecimiento y decrecimiento

Para determinar si una función es creciente o decreciente se estudia el signo de la función derivada:

  • Si la función es creciente       ⟹ f′(x)>0\space \space \space \space\space \implies f'(x)>0​​
  • Si la función es decreciente  ⟹ f′(x)<0\implies f'(x)<0​​

Recuerda que: Si la f ′(x)\it{f\space'(x)} es nula, f (x)\it{f\space(x)} es una función constante, la cual no tiene puntos extremos y siempre tiene la misma monotonía ∀x∈D(f)\it{\forall x \in D(f)} .


Ejemplo

Verifica analíticamente que la función de la figura es creciente: f(x)=45 ex{f(x)=\cfrac{4}{5}\space e^x} 

​

​f ′(x)=45 ex ;ex>0 ∀x∈D(f) ⟹ {f\space'(x)=\cfrac{4}{5}\space e^x\space ; e^x>0 \space \forall x \in D(f) \implies }

​La función es creciente en todo su dominio.​​​

​​
Matemáticas; Funciones; 1. Bachillerato; Monotonía y puntos extremos de una función


Extremos relativos

Una función tendrá un extremo relativo en un punto aa​ si f′(a)=0f'(a)=0, pueden ser de dos tipos. 


​​Máximo relativo
Si a la izquierda del punto la función es creciente y a la derecha decreciente.

Mínimo relativo
Si a la izquierda del punto la función es decreciente y a la derecha creciente.


Ejemplo

Estudia los extremos relativos de: g(x)=x2+2x−3{g(x)=x^2+2x-3} y f (x)=−2x+2{f\space(x)=-2x+2}​​​

Matemáticas; Funciones; 1. Bachillerato; Monotonía y puntos extremos de una función

Como se ve en la gráfica, f (x)\it{f\space(x)} no debería tener extremos relativos:

​f ′(x)=−2≠0  ∀x∈D(f){f\space'(x)=-2\ne0 \space\space\forall x \in D(f)}


Derivando la función g ′(x)\it{g\space'(x)}:

g ′(x)=2x+2 ⟹ g ′(−1)=0 ⟹ g(−1)=−4{g\space'(x)=2x+2\implies g\space'(-1)=0}\implies g(-1)=-4


Estudiando la monotonía a izquierda y derecha:

​∀x<−1 ⟹ g ′(x)<0 ⟹ \forall x<-1\implies g\space'(x)<0\implies A la izquierda la función es decreciente.

∀x>−1 ⟹ g ′(x)>0 ⟹ \forall x>-1\implies g\space'(x)>0\implies A la derecha la función es creciente.

​

En el punto (−1,−4)(-1,-4) g(x)g(x) tiene un mínimo relativo.​​​