Teorema de Bayes: Probabilidades "a priori"

Teorema de Bayes

Si $$A_1, A_2, ...A_k$$​ son una partición del espacio muestral y $$B$$ es un suceso cualquiera, se obtiene la fórmula:

​$$P(A_j\vert B)=\cfrac{P(A_j\cap B)}{P(B)}=\cfrac{P(A_j)\cdot P(B\vert A_i)}{P(A_1)\cdot P(B\vert A_1)+P(A_2)\cdot P(B\vert A_2)+...+P(A_k)\cdot P(B\vert A_k)}$$​​

Recuerda que: el Teorema de Bayes permite calcular la probabilidad de un efecto a posteriori $$P(A_j\vert B)$$​ a partir de una probabilidad a priori ​$$P(A_j)$$​.

Ejemplo

Se presenta un problema de matemáticas a una serie de alumnos. El $$50$$% son de primaria, el $$30$$% son de la ESO y el $$20$$% son de bachillerato. Un $$90$$% de los de bachillerato lo resuelven correctamente, un $$60$$% de la ESO  y un $$30$$% de primaria también lo consiguen resolver.

Si se escoge alguien al azar que ha resuelto el ejercicio, ¿qué probabilidad hay de que sea de bachillerato?

Los sucesos $$A=$$​ primaria, $$B=$$​ secundaria y $$C=$$ bachillerato conforman una partición del espacio muestral. Si $$M=$$ resolver el problema, entonces hay que calcular $$P(C\vert M)$$.

​$$P(M)=P(A)\cdot P(M\vert A)+P(B)\cdot P(M\vert B)+P(C)\cdot P(M\vert C)\newline P(M)=0,5\cdot0,3+0,3\cdot0,6+0,2\cdot 0,9=0,51$$​​

Aplicando el teorema de Bayes, la probabilidad de que al escoger alguien que haya aprobado sea de bachillerato es:

​$$P(C\vert M)=\cfrac{P(C)\cdot P(M\vert C)}{P(M)}=\cfrac{0,2\cdot0,9}{0,51}=\cfrac{6}{17}=0,3529=\underline{35,29\%}$$​​