Teorema de Bayes: Probabilidades "a priori"

Teorema de Bayes

Si $A_1, A_2, ...A_k$ son una partición del espacio muestral y $B$ es un suceso cualquiera, se obtiene la fórmula:

$P(A_j\vert B)=\cfrac{P(A_j\cap B)}{P(B)}=\cfrac{P(A_j)\cdot P(B\vert A_i)}{P(A_1)\cdot P(B\vert A_1)+P(A_2)\cdot P(B\vert A_2)+...+P(A_k)\cdot P(B\vert A_k)}$

Recuerda que: el Teorema de Bayes permite calcular la probabilidad de un efecto a posteriori $P(A_j\vert B)$  a partir de una probabilidad a priori  $P(A_j)$ .

Ejemplo

Se presenta un problema de matemáticas a una serie de alumnos. El $50$ % son de primaria, el $30$ % son de la ESO y el $20$ % son de bachillerato. Un $90$ % de los de bachillerato lo resuelven correctamente, un $60$ % de la ESO y un $30$ % de primaria también lo consiguen resolver.

Si se escoge alguien al azar que ha resuelto el ejercicio, ¿qué probabilidad hay de que sea de bachillerato?

Los sucesos $A=$  primaria, $B=$  secundaria y $C=$ bachillerato conforman una partición del espacio muestral. Si $M=$ resolver el problema, entonces hay que calcular $P(C\vert M)$ .

$P(M)=P(A)\cdot P(M\vert A)+P(B)\cdot P(M\vert B)+P(C)\cdot P(M\vert C)\newline P(M)=0,5\cdot0,3+0,3\cdot0,6+0,2\cdot 0,9=0,51$

Aplicando el teorema de Bayes, la probabilidad de que al escoger alguien que haya aprobado sea de bachillerato es:

$P(C\vert M)=\cfrac{P(C)\cdot P(M\vert C)}{P(M)}=\cfrac{0,2\cdot0,9}{0,51}=\cfrac{6}{17}=0,3529=\underline{35,29\%}$