Cálculo de áreas y volúmenes con vectores Área de un triángulo Sea un triángulo cuyos vértices son los puntos A A A B B B C C C
A = 1 2 ∣ A B → × A C → ∣ A = \cfrac {1}{2} | \overrightarrow {AB} \times \overrightarrow {AC} | A = 2 1 ∣ A B × A C ∣
PROCEDIMIENTO 1.
Calcula los vectores
A B → \overrightarrow {AB} A B y
A C → \overrightarrow {AC} A C
2.
Calcula el módulo del producto
A B → × A C → \overrightarrow {AB} \times \overrightarrow {AC} A B × A C
3.
Aplica la fórmula del área del triángulo
Ejemplo Calcula el área del triángulo de vértices A ( 1 , 2 , 0 ) , B ( 0 , 3 , − 1 ) , C ( 1 , 0 , − 1 ) A ( 1, 2, 0 ) \space , \space B (0, 3, -1) \space , \space C ( 1, 0, -1) A ( 1 , 2 , 0 ) , B ( 0 , 3 , − 1 ) , C ( 1 , 0 , − 1 )
Calcula el vector A B → \overrightarrow {AB} A B
A B → = ( 0 − 1 , 3 − 2 , − 1 − 0 ) = ( − 1 , 1 , − 1 ) \overrightarrow {AB} = (0-1 , 3-2 , -1-0)= (-1, 1, -1 ) A B = ( 0 − 1 , 3 − 2 , − 1 − 0 ) = ( − 1 , 1 , − 1 )
Calcula el vector A C → \overrightarrow {AC} A C
A C → = ( 1 − 1 , 0 − 2 , − 1 − 0 ) = ( 0 , − 2 , − 1 ) \overrightarrow {AC}= (1-1 , 0-2, -1-0) = (0,-2,-1) A C = ( 1 − 1 , 0 − 2 , − 1 − 0 ) = ( 0 , − 2 , − 1 )
Calcula el módulo de A B → × A C → \overrightarrow {AB}\times \overrightarrow {AC} A B × A C
A B → × A C → = ∣ i j k − 1 1 − 1 0 − 2 − 1 ∣ = ( − 3 , − 1 , 2 ) \overrightarrow {AB} \times \overrightarrow {AC} = \begin{vmatrix} i & j & k \\ -1 & 1 & -1\\0& -2 & -1\end{vmatrix} = (-3, -1, 2) A B × A C = i − 1 0 j 1 − 2 k − 1 − 1 = ( − 3 , − 1 , 2 )
∣ A B → × A C → ∣ = ( − 3 ) 2 + ( − 1 ) 2 + 2 2 = 9 + 1 + 4 = 14 |\overrightarrow {AB} \times \overrightarrow {AC} | = \sqrt {(-3)^2 + (-1)^2 + 2^2 } = \sqrt {9+1+4}= \sqrt {14} ∣ A B × A C ∣ = ( − 3 ) 2 + ( − 1 ) 2 + 2 2 = 9 + 1 + 4 = 14
AAplica el área del triangulo
A = 1 2 ∣ A B → × A C → ∣ = 14 2 u 2 ‾ A = \cfrac {1}{2} |\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow {AC}| = \underline { \cfrac {\sqrt {14}}{2}\space u^2} A = 2 1 ∣ A B × A C ∣ = 2 14 u 2
Volumen de un tetraedro Sea un tetraedro cuyos vértices son los puntos A , B , C y D A, B, C \text { y }D A , B , C y D
V = 1 6 ∣ [ A B → , A C → , A D → ] ∣ V = \cfrac{1}{6} | [ \overrightarrow {AB}, \overrightarrow {AC}, \overrightarrow {AD}]| V = 6 1 ∣ [ A B , A C , A D ] ∣
pROCEDIMIENTO 1.
Calcula los vectores
A B → , A C → , y A D → \overrightarrow {AB}, \overrightarrow {AC}, \text { y }\overrightarrow {AD} A B , A C , y A D
2.
Calcula el producto
[ A B → , A C → , A D → ] [\overrightarrow {AB}, \overrightarrow {AC}, \overrightarrow {AD}] [ A B , A C , A D ]
3.
Aplica la fórmula del volumen del tetraedro
Ejemplo Calcula el volumen del tetraedro de vértices A ( 1 , 2 , 0 ) A (1,2,0 ) A ( 1 , 2 , 0 ) B ( 0 , 3 , − 1 ) B (0,3 , -1) B ( 0 , 3 , − 1 ) C ( 1 , 0 , − 1 ) C (1, 0 ,-1) C ( 1 , 0 , − 1 ) D ( 1 , 3 , 2 ) D (1,3,2) D ( 1 , 3 , 2 )
Calcula los vectores A B → \overrightarrow {AB} A B A C → \overrightarrow {AC} A C A D → \overrightarrow {AD} A D
A B → = ( 0 − 1 , 3 − 2 , − 1 − 0 ) = ( − 1 , 1 , − 1 ) \overrightarrow {AB} = (0-1 , 3-2 , -1-0)= (-1, 1, -1 ) A B = ( 0 − 1 , 3 − 2 , − 1 − 0 ) = ( − 1 , 1 , − 1 )
A C → = ( 1 − 1 , 0 − 2 , − 1 − 0 ) = ( 0 , − 2 , − 1 ) \overrightarrow {AC}= (1-1 , 0-2, -1-0) = (0,-2,-1) A C = ( 1 − 1 , 0 − 2 , − 1 − 0 ) = ( 0 , − 2 , − 1 )
A D → = ( 1 − 1 , 3 − 2 , 2 − 0 ) = ( 0 , 1 , 2 ) \overrightarrow {AD}= (1-1 , 3-2, 2-0) = (0,1,2) A D = ( 1 − 1 , 3 − 2 , 2 − 0 ) = ( 0 , 1 , 2 )
Calcula el producto [ A B → , A C → , A D → ] [\overrightarrow {AB}, \overrightarrow {AC}, \overrightarrow {AD}] [ A B , A C , A D ]
[ A B → , A C → , A D → ] = ∣ − 1 1 − 1 0 − 2 − 1 0 1 2 ∣ = − 1 ( − 4 + 1 ) − 1 ( 0 − 0 ) − 1 ( 0 − 0 ) = 3 [\overrightarrow {AB}, \overrightarrow {AC}, \overrightarrow {AD}] = \begin{vmatrix} -1 & 1 & -1\\ 0 & -2 & -1 \\0 & 1 & 2\end{vmatrix} = -1 (-4+1) - 1(0-0) -1(0-0) = 3 [ A B , A C , A D ] = − 1 0 0 1 − 2 1 − 1 − 1 2 = − 1 ( − 4 + 1 ) − 1 ( 0 − 0 ) − 1 ( 0 − 0 ) = 3
Aplica la fórmula del volumen del tetraedro
V = 1 6 ∣ [ A B → , A C → , A D → ] ∣ = 1 6 ⋅ ∣ 3 ∣ = 3 6 = 1 2 u 3 ‾ V= \cfrac {1}{6} |[\overrightarrow {AB}, \overrightarrow {AC}, \overrightarrow {AD}]| = \cfrac {1}{6} \cdot |3| = \cfrac{3}{6}= \underline {\cfrac {1}{2}\space u ^3} V = 6 1 ∣ [ A B , A C , A D ] ∣ = 6 1 ⋅ ∣3∣ = 6 3 = 2 1 u 3
