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Combinatoria

Variaciones con y sin repetición

Variaciones con y sin repetición

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Docente: Víctor

Resumen

Variaciones con y sin repetición

Variaciones

Se define como variaciones a todas las posibles agrupaciones que se pueden formar con los elementos de un determinado conjunto.


Regla de la multiplicación

El número de posibilidades de una sucesión de elecciones es la multiplicación de todas ellas.


Ejemplo

En el menú de la cafetería hay tres primeros, dos segundos y cuatro postres. ¿Cuántos menús diferentes puedes comer?


Para ello debes multiplicar todas las posibilidades, es decir, 324=243\cdot2\cdot4=24​. 


Solución:

Hay 24 combinaciones diferentes del menuˊ\underline{\rm Hay \ {24} \ combinaciones \ diferentes \ del\ menú}​​


Variaciones sin repetición

Los resultados posibles de una variación de kk​ orden de nn​ elementos es:


Vn,k=n(n1)...(nk+1)=n!(nk)!V_{n,k}=n(n-1)\cdot...\cdot(n-k+1)=\cfrac{n!}{(n-k)!}​​


Ejemplo

En clase de educación física echas una carrera con nueve amigos. Si todos sois igual de buenos, ¿cuántas combinaciones de podio hay?


Como sois diez participantes y el podio está compuesto por tres puestos, las posibles combinaciones son:


10!(103)!=1098=720\cfrac{10!}{(10-3)!}=10\cdot9\cdot8=720​​


Solución:

Hay 720 combinaciones diferentes de podio.\underline{\rm Hay\ {720}\ combinaciones\ diferentes\ de\ podio.}​​


Variaciones con repetición

Si se realizan kk​ elecciones ordenadas de nn​ elementos repetibles su fórmula es:


VRn,k=nkVR_{n,k}=n^k​​


Ejemplo

Si tiras un dado tres veces y anotas el resultado como si fuera un número (por ejemplo, 352352), ¿cuál es la probabilidad de que el número sea impar?


Primero calcula el número de resultados posibles diferentes 63=2166^3=216​.


Los resultados favorables son aquellos en los que el último número sea impar (el primero y el segundo número no importan), por lo tanto 663=1086\cdot6\cdot3=108.


Finalmente:

P(impar)=108216=0,5P(\rm impar)=\cfrac{108}{216}=\underline{0,5}​​



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Ejercicios

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Preguntas frecuentes

¿Cuándo debo usar una variación con repeticiones?

¿Cuándo debo usar una variación sin repeticiones?

¿Qué es la regla de la multiplicación?

Beta

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