¿Cómo determinas la posición relativa entre plano y recta?

Tienes que calcular los posibles valores del parámetro y según eso se posicionarán de una forma u otra

¿Cuáles son las posiciones relativas entre plano y recta?

Recta contenida en el plano, recta paralela al plano, recta que corta al plano por un punto

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Matemáticas

Posición relativa entre recta y plano en el espacio

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Posición relativa entre recta y plano en el espacio

Determinar la posición relativa entre recta y plano

procedimiento

1.	El plano tiene que estar expresado con su ecuación implícita y la recta por la ecuación paramétrica.
2.	Sustituye la ecuación paramétrica de la recta en la ecuación implícita del plano.
3.	Calcula el valor de $\lambda$ y según lo que obtengas la recta se posicionará en un sitio u otro respecto al plano.

Posición relativa según el valor de $\bold{\lambda}$

contenida	$\lambda$ tendrá infinitos valores
paralelas	No existe ningún valor para $\lambda$
secantes	$\lambda$ tendrá un único valor

Ejemplo

Determina la posición relativa de la recta $r$ y el plano $\pi$ .

$r:\left\{\begin{array}{l}x=1+5 \lambda \\y=\lambda \\z=-2+\lambda\end{array} \quad \pi:-x+3 y+2 z+5=0\right. \\$

Lo primero es sustituir la ecuación paramétrica de la recta $r$ dentro de la ecuación implícita del plano:

$-(1+5 \lambda)+3 \lambda+2(-2+\lambda)+5=0$

$-1-5 \lambda+3 \lambda-4+2 \lambda+5= -5 \lambda+5 \lambda=0$ 

$(-5+5) \lambda=0 \longrightarrow \underline{\lambda \in \mathbb{R}}$

Como la ecuación será nula para cualquier valor de $\lambda$ , quiere decir que $\lambda$ puede tomar cualquier valor. Por lo tanto la recta está contenida en el plano.

Posición relativa entre recta y plano en el espacio

Determinar la posición relativa entre recta y plano

procedimiento

1.	El plano tiene que estar expresado con su ecuación implícita y la recta por la ecuación paramétrica.
2.	Sustituye la ecuación paramétrica de la recta en la ecuación implícita del plano.
3.	Calcula el valor de $\lambda$ y según lo que obtengas la recta se posicionará en un sitio u otro respecto al plano.

Posición relativa según el valor de $\bold{\lambda}$

contenida	$\lambda$ tendrá infinitos valores
paralelas	No existe ningún valor para $\lambda$
secantes	$\lambda$ tendrá un único valor

Ejemplo

Determina la posición relativa de la recta $r$ y el plano $\pi$ .

$r:\left\{\begin{array}{l}x=1+5 \lambda \\y=\lambda \\z=-2+\lambda\end{array} \quad \pi:-x+3 y+2 z+5=0\right. \\$

Lo primero es sustituir la ecuación paramétrica de la recta $r$ dentro de la ecuación implícita del plano:

$-(1+5 \lambda)+3 \lambda+2(-2+\lambda)+5=0$

$-1-5 \lambda+3 \lambda-4+2 \lambda+5= -5 \lambda+5 \lambda=0$ 

$(-5+5) \lambda=0 \longrightarrow \underline{\lambda \in \mathbb{R}}$

Como la ecuación será nula para cualquier valor de $\lambda$ , quiere decir que $\lambda$ puede tomar cualquier valor. Por lo tanto la recta está contenida en el plano.

¿Atascado con la lección? Echa un vistazo a:

Posición relativa de dos rectas en 2D y 3D

Sobre la lección

Ecuaciones del plano: Vectorial, paramétrica e implícita

Sobre la lección

Otras ecuaciones del plano

Sobre la lección

Preguntas frecuentes (FAQ)

FAQs

Pregunta: ¿Cómo determinas la posición relativa entre plano y recta?

Respuesta: Tienes que calcular los posibles valores del parámetro y según eso se posicionarán de una forma u otra
Pregunta: ¿Cuáles son las posiciones relativas entre plano y recta?

Respuesta: Recta contenida en el plano, recta paralela al plano, recta que corta al plano por un punto

Teoría

Ejercicios

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Posición relativa entre recta y plano en el espacio

Posición relativa entre recta y plano en el espacio

Determinar la posición relativa entre recta y plano

procedimiento

Posición relativa según el valor de λ\bold{\lambda}λ

contenida

paralelas

secantes

Ejemplo

Posición relativa entre recta y plano en el espacio

Determinar la posición relativa entre recta y plano

procedimiento

Posición relativa según el valor de λ\bold{\lambda}λ

contenida

paralelas

secantes

Ejemplo

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Posición relativa según el valor de $\bold{\lambda}$

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