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Posición relativa entre recta y plano en el espacio

Posición relativa entre recta y plano en el espacio

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Docente: Antonio

Resumen

Posición relativa entre recta y plano en el espacio

Determinar la posición relativa entre recta y plano

procedimiento

1.

El plano tiene que estar expresado con su ecuación implícita y la recta por la ecuación paramétrica.

2.

Sustituye la ecuación paramétrica de la recta en la ecuación implícita del plano.

3.

Calcula el valor de λ\lambda y según lo que obtengas la recta se posicionará en un sitio u otro respecto al plano.​


Posición relativa según el valor de λ\bold{\lambda}

contenida

λ\lambda​ tendrá infinitos valores​

Matemáticas; Planos; 2. Bachillerato; Posición relativa entre recta y plano en el espacio

paralelas

No existe ningún valor para λ\lambda​​

Matemáticas; Planos; 2. Bachillerato; Posición relativa entre recta y plano en el espacio

secantes

λ\lambda tendrá un único valor

Matemáticas; Planos; 2. Bachillerato; Posición relativa entre recta y plano en el espacio


Ejemplo

Determina la posición relativa de la recta rr y el plano π\pi.


r:{x=1+5λy=λz=2+λπ:x+3y+2z+5=0r:\left\{\begin{array}{l}x=1+5 \lambda \\y=\lambda \\z=-2+\lambda\end{array} \quad \pi:-x+3 y+2 z+5=0\right. \\

Lo primero es sustituir la ecuación paramétrica de la recta rr dentro de la ecuación implícita del plano:

(1+5λ)+3λ+2(2+λ)+5=0-(1+5 \lambda)+3 \lambda+2(-2+\lambda)+5=0


15λ+3λ4+2λ+5=5λ+5λ=0-1-5 \lambda+3 \lambda-4+2 \lambda+5= -5 \lambda+5 \lambda=0 ​​


(5+5)λ=0λR(-5+5) \lambda=0 \longrightarrow \underline{\lambda \in \mathbb{R}}


Como la ecuación será nula para cualquier valor de λ\lambda, quiere decir que λ\lambda puede tomar cualquier valor. Por lo tanto la recta está contenida en el plano.


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Preguntas frecuentes

¿Cómo determinas la posición relativa entre plano y recta?

¿Cuáles son las posiciones relativas entre plano y recta?

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