Posición relativa entre recta y plano en el espacio

Determinar la posición relativa entre recta y plano

procedimiento

Posición relativa según el valor de $$\bold{\lambda}$$

contenida	$$\lambda$$​ tendrá infinitos valores​
paralelas	No existe ningún valor para $$\lambda$$​​
secantes	​$$\lambda$$ tendrá un único valor

Ejemplo

Determina la posición relativa de la recta $$r$$ y el plano $$\pi$$.

$$r:\left\{\begin{array}{l}x=1+5 \lambda \\y=\lambda \\z=-2+\lambda\end{array} \quad \pi:-x+3 y+2 z+5=0\right. \\$$

​Lo primero es sustituir la ecuación paramétrica de la recta $$r$$ dentro de la ecuación implícita del plano:

$$-(1+5 \lambda)+3 \lambda+2(-2+\lambda)+5=0$$

$$-1-5 \lambda+3 \lambda-4+2 \lambda+5= -5 \lambda+5 \lambda=0$$​​

$$(-5+5) \lambda=0 \longrightarrow \underline{\lambda \in \mathbb{R}}$$

Como la ecuación será nula para cualquier valor de $$\lambda$$, quiere decir que $$\lambda$$ puede tomar cualquier valor. Por lo tanto la recta está contenida en el plano.