Tendencia y periodicidad de una función
Tendencia
El estudio de la tendencia de una función permite deducir el comportamiento de la función cuando x tiende a infinito (x→∞), cuando x tiende a menos infinito (x→−∞) o cuando x tiende a un número concreto (x→a).
x→xolimf(x)=yo
Tendencia asintótica vertical
Tiene lugar cuando la función se aproxima indefinidamente a una recta vertical. Una recta x=a es una asíntota vertical de una función f(x) cuando el límite de función en a es infinito.
x→alimf(x)=±∞
Ejemplo
Determina la tendencia de la función: f(x)=x−11
| x→1+limf(x)=+∞
x→1−limf(x)=−∞ |
Recuerda que: Una asíntota es una recta a la que la gráfica de la función se acerca continua e indefinidamente sin llegar a alcanzarla.
Tendencia asintótica horizontal
Tiene lugar cuando la función se aproxima indefinidamente a una recta horizontal, hacia la derecha o hacia la izquierda. Una recta y=k es una asíntota horizontal de una funciónf(x) cuando el límite de la función en el infinito corresponde a k.
x→±∞limf(x)=k
Ejemplo
Determina la tendencia de la función: f(x)=x−1x+1
| x→+∞limf(x)=1
x→−∞limf(x)=1 |
Tendencia asintótica oblicua
Una función presenta tendencia asintótica oblicua si la función tiene una asíntota oblicua del tipo y=mx+n. En este caso, la función se aproxima cada vez más a al recta asíntota en el infinito.
Ejemplo
Determina si la siguiente función f(x)=xx2+1 presenta asíntotas oblicuas.
| m=x→±∞limx2x2+1=1
n=x→±∞lim[xx2+1−1x]=0 |
La asíntota oblicua es una función lineal:
y=x
Periodicidad
Una función f es periódica, con período T, si se verifica que f(x+T)=f(x), para cualquier punto x del dominio, siendo T el número real más pequeño que satisface esta condición.
Características
- Para el estudio de la gráfica se elige un intervalo de amplitud T, se realiza en éste todo el estudio y a continuación, se extrapola al resto del dominio.
- Las funciones periódicas no presentan asíntotas horizontales ni verticales.
- Las funciones periódicas más características son las funciones trigonométricas. Siendo el periodo de f(x)=senx=2π, f(x)=cosx=2π y f(x)=tgx=π.