​​​Tendencia y periodicidad de una función

Tendencia

El estudio de la tendencia de una función permite deducir el comportamiento de la función cuando $$x$$ tiende a infinito ($$x \to \infty$$), cuando $$x$$ tiende a menos infinito ($$x \to -\infty$$) o cuando $$x$$ tiende a un número concreto ($$x \to a$$).

$$\lim\limits_{x \to x_o } f(x)=y_o$$

Tendencia asintótica vertical

Tiene lugar cuando la función se aproxima indefinidamente a una recta vertical. Una recta $$x=a$$ es una asíntota vertical de una función $$f(x)$$ cuando el límite de función en $$a$$ es infinito. 

​$$\lim\limits_{x \to a } f(x)=\pm \infty$$

Ejemplo

Determina la tendencia de la función: $$f(x)=\cfrac{1}{x-1}$$

​$$\lim\limits_{x \to 1^+ } f(x)=\underline {+\infty}$$ $$\lim\limits_{x \to 1^- } f(x)=\underline {-\infty}$$​​​

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Recuerda que: Una asíntota es una recta a la que la gráfica de la función se acerca continua e indefinidamente sin llegar a alcanzarla.

Tendencia asintótica horizontal

Tiene lugar cuando la función se aproxima indefinidamente a una recta horizontal, hacia la derecha o hacia la izquierda. Una recta $$y=k$$ es una asíntota horizontal de una función$$f(x)$$ cuando el límite de la función en el infinito corresponde a $$k.$$

​​$$\lim\limits_{x \to \pm \infty } f(x)=k$$

Ejemplo

Determina la tendencia de la función: $$f(x)=\cfrac{x+1}{x-1}$$

​$$\lim\limits_{x \to + \infty } f(x)=\underline 1$$ $$\lim\limits_{x \to - \infty } f(x)=\underline {1}$$​​​

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Tendencia asintótica oblicua​​

Una función presenta tendencia asintótica oblicua si la función tiene una asíntota oblicua del tipo $$y=mx+n$$. En este caso, la función se aproxima cada vez más a al recta asíntota en el infinito. 

Ejemplo

Determina si la siguiente función $$f(x)=\cfrac{x^2+1}{x}$$ presenta asíntotas oblicuas.

​$$y=mx+n$$ $$m=\lim\limits_{x \to \pm \infty }\cfrac{x^2+1}{x^2}=\underline 1$$ $$n= \lim\limits_{x \to \pm \infty }\left[\cfrac{x^2+1}{x}-1x\right ]=\underline 0$$​​​​

La asíntota oblicua es una función lineal:

$$\underline {y=x}$$​​

Periodicidad

Una función $$f$$ es periódica, con período $$T$$, si se verifica que $$f(x+T)= f(x)$$, para cualquier punto $$x$$ del dominio, siendo ​$$T$$ el número real más pequeño que satisface esta condición. 

Características

• ​Para el estudio de la gráfica se elige un intervalo de amplitud $$T$$, se realiza en éste todo el estudio y a continuación, se extrapola al resto del dominio.
• Las funciones periódicas no presentan asíntotas horizontales ni verticales.
  
• Las funciones periódicas más características son las funciones trigonométricas. Siendo el periodo de $$f(x)=\text{sen} \, x=2\pi$$, $$f(x)=\cos \, x=2\pi$$ y $$f(x)=\tg \, x=\pi$$.​