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Tendencia y periodicidad de una función

Tendencia y periodicidad de una función

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Docente: Eva

Resumen

​​Tendencia y periodicidad de una función

Tendencia

El estudio de la tendencia de una función permite deducir el comportamiento de la función cuando xx tiende a infinito (xx \to \infty ), cuando xx tiende a menos infinito (xx \to -\infty) o cuando xx tiende a un número concreto (xax \to a).

limxxof(x)=yo\lim\limits_{x \to x_o } f(x)=y_o


Tendencia asintótica vertical

Tiene lugar cuando la función se aproxima indefinidamente a una recta vertical. Una recta x=ax=a es una asíntota vertical de una función f(x)f(x) cuando el límite de función en aa es infinito. 

limxaf(x)=±\lim\limits_{x \to a } f(x)=\pm \infty


Ejemplo

Determina la tendencia de la función: f(x)=1x1f(x)=\cfrac{1}{x-1}


Matemáticas; Funciones; 1. Bachillerato; Tendencia y periodicidad de una función
limx1+f(x)=+\lim\limits_{x \to 1^+ } f(x)=\underline {+\infty}

limx1f(x)=\lim\limits_{x \to 1^- } f(x)=\underline {-\infty}​​​

​​

Recuerda que: Una asíntota es una recta a la que la gráfica de la función se acerca continua e indefinidamente sin llegar a alcanzarla.


Tendencia asintótica horizontal

Tiene lugar cuando la función se aproxima indefinidamente a una recta horizontal, hacia la derecha o hacia la izquierda. Una recta y=ky=k es una asíntota horizontal de una funciónf(x)f(x) cuando el límite de la función en el infinito corresponde a k.k.

​​limx±f(x)=k\lim\limits_{x \to \pm \infty } f(x)=k


Ejemplo

Determina la tendencia de la función: f(x)=x+1x1f(x)=\cfrac{x+1}{x-1}


Matemáticas; Funciones; 1. Bachillerato; Tendencia y periodicidad de una función
limx+f(x)=1\lim\limits_{x \to + \infty } f(x)=\underline 1

limxf(x)=1\lim\limits_{x \to - \infty } f(x)=\underline {1} ​​​

Tendencia asintótica oblicua

Una función presenta tendencia asintótica oblicua si la función tiene una asíntota oblicua del tipo y=mx+ny=mx+n. En este caso, la función se aproxima cada vez más a al recta asíntota en el infinito. 


Ejemplo

Determina si la siguiente función f(x)=x2+1xf(x)=\cfrac{x^2+1}{x} presenta asíntotas oblicuas.

Matemáticas; Funciones; 1. Bachillerato; Tendencia y periodicidad de una función
y=mx+ny=mx+n
m=limx±x2+1x2=1m=\lim\limits_{x \to \pm \infty }\cfrac{x^2+1}{x^2}=\underline 1

n=limx±[x2+1x1x]=0n= \lim\limits_{x \to \pm \infty }\left[\cfrac{x^2+1}{x}-1x\right ]=\underline 0​​​​


La asíntota oblicua es una función lineal:

y=x\underline {y=x}​​


Periodicidad

Una función ff es periódica, con período TT, si se verifica que f(x+T)=f(x)f(x+T)= f(x), para cualquier punto xx del dominio, siendo ​TT  el número real más pequeño que satisface esta condición. 

Matemáticas; Funciones; 1. Bachillerato; Tendencia y periodicidad de una función

Características

  • ​Para el estudio de la gráfica se elige un intervalo de amplitud TT, se realiza en éste todo el estudio y a continuación, se extrapola al resto del dominio.
  • Las funciones periódicas no presentan asíntotas horizontales ni verticales.
  • Las funciones periódicas más características son las funciones trigonométricas. Siendo el periodo de f(x)=sen x=2πf(x)=\text{sen} \, x=2\pi, f(x)=cos x=2πf(x)=\cos \, x=2\pi  y f(x)=tg x=πf(x)=\tg \, x=\pi.​

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Preguntas frecuentes

¿Cuándo una función es periódica?

¿Qué es la tendencia?